Математика

Мавлетов Венер


МАТЕМАТИКА
СПРАВОЧНОЕ ПОСОБИЕ ДЛЯ УЧАЩИХСЯ НАЧАЛЬНЫХ КЛАССОВ

НАТУРАЛЬНЫЕ ЧИСЛА И НУЛЬ.
§ 1. Натуральный ряд.
Числа 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12… называются нату¬ральными числами. Число 0 не является натуральным числом.
Натуральные числа, записанные в порядке возрастания обра¬зует натуральный ряд чисел.
Для записи натуральных чисел используют знаки: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, называемые цифрами.
Например, число 37 записано цифрами 3 и 7, число 108 – цифрами 1, 0, 8.
В натуральном ряду нет последнего числа – за каждым нату¬ральным числом следует ещё одно натуральное число и так далее.
§ 2. Строение натурального числа в десятичной системе счисления.
Система счёта, применяемая в математике, называется деся¬тичной, то есть счёт ведут десятками:
Десять единиц – это 10 (десять).
Десять десятков – это 100 (сто).
Десять сотен – это 1000 (тысяча).
Десять единиц тысяч – это 10 000 (десять тысяч).
Десять десятков тысяч – это 100 000 (сто тысяч)
Десять сотен тысяч – это 1 000 000 (миллион).
При десятичной записи числа значение каждой написанной цифры зависит от места (позиции) в числе. Например, одна и та же цифра 4 в числе 405 обозначает четыре сотни, в числе 41 – четыре десятка, а в числе 4 – четыре единицы.
Натуральное число, записанное одной цифрой, называется однозначным: 1, 7, 9, 8, 5, 6.
Натуральное число, записанное двумя цифрами, называется двузначным: 11, 27, 17, 32, 98, 99, 64.
Натуральное число, записанное тремя цифрами, называется трехзначным: 333, 567, 987, 907, 101, 102.
Натуральное число, записанное четырьмя цифрами, называ¬ется четырёхзначным: 1234, 5678, 9876, 3429.
Натуральное число, записанное пятью цифрами, называется пятизначным: 46 789, 87 321, 99 999, 44 321.
§ 3. Виды числа.
Числа бывают чётными и нечётными.
Числа, которые делятся нацело на 2, называются чётными числами. Например: 2, 4, 6, 8.
Числа, которые не делятся нацело на 2, называются нечёт¬ными числами. Например: 1, 3, 7, 9, 11, 13.
Круглыми называются числа, которые оканчиваются на нуль. Например: 10, 20, 100, 200, 120, 540.
Числа, при которых указано название единиц измерения (метры, сантиметры, килограммы, тонны, литры и так далее), называют именованными числами. Примеры:
12 см, 17 кг, 5678 т, 4 ч – это простые именованные числа.
4 м 12 см, 17 кг 50 г, 4 ч 15 мин – это составные именован¬ные числа.
§ 4. Классы числа.
Сотни, десятки, единицы – это класс единиц.
Высший разряд класса единиц – это сотни.
Низший разряд класса единиц – это единицы.
Сотни тысяч, десятки тысяч, единицы тысяч – это класс ты¬сяч.
Высший разряд класса тысяч – это сотни тысяч.
Низший разряд класса тысяч – это единицы тысяч.

Класс тысяч Класс единиц
Сотни Десятки Единицы Сотни Десятки Еди¬ницы
6 8 9
3 7 8 4 3 2

Упражнения.
1. Сколько среди двузначных чисел таких, в записи которых имеется хотя бы одна цифра 7?
Рассуждай так: Наименьшее двузначное число – это 10. Наибольшее двузначное число – это 99. Следовательно, дву¬значные числа, в записи которых встречается цифра 7, нахо¬дим в натуральном ряду от 10 до 99.
Вот эти числа: 17, 27, 37, 47, 57, 67, 70, 71, 72, 73, 74, 75, 76, 77, 78, 79, 87, 97.
2. Записаны подряд семь цифр 4 9 2 1 5 0 8. Зачеркни 4 цифры так, чтобы оставшееся трёхзначное число было: а) наибольшим; б) наименьшим.
Рассуждай так: Числа (предложения) читают слева на¬право. Следовательно, первая оставшаяся цифра будет обо¬значать разряд сотен, вторая – разряд десятков, третья – раз¬ряд единиц.
Запишем наибольшее трёхзначное число. Для этого оста¬вим цифры, обозначающие наибольший разряд сотен, десят¬ков, единиц. У нас получится число 958. Это не может быть число 985, т. к. нарушается порядок чтения.
Запишем наименьшее трёхзначное число. Для этого оста¬вим цифры, обозначающие наименьший разряд сотен, десят¬ков, единиц. У нас получится число 108. Остальные цифры зачёркиваем.
3. Найди признак, по которому можно разбить на две части числа: 35, 44, 45, 531, 333, 540, 242.
Рассуждай так: Числа бывают двузначными и трёхзнач¬ными. Следовательно, по этому признаку данные нам числа разделим на две части: 35, 44, 45 и 531, 333, 540, 242.
Числа бывают круглыми и некруглыми. Круглым явля¬ется число 540, остальные числа – некруглые.
Числа записывают цифрами. Одинаковыми цифрами за¬писаны числа: 44, 333, остальные – неодинаковыми.
4. Напиши число, состоящее из: а) 5 тысяч, 5 сотен и 5 еди¬ниц; б) 11 тысяч, 11 сотен, 11 единиц; в) 149 тысяч и 149 еди¬ниц.
Рассуждай так: Представим все число в виде суммы раз¬рядных единиц и произведём операцию «сложение»:
5 • 1000 + 5 • 100 + 5 = 5505
11 • 1000 + 11 • 100 + 11 = 12111
149 – 1000 + 149 = 149149
386 • 1000 + 386 • 100 + 386 = 424986
§ 5. Сравнение натуральных чисел.
Пусть а и b – натуральные числа. Число b считается большим числа а, если оно находится в ряду натуральных чисел: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12… правее, чем число а.
При этом пишут b > а и говорят «b больше а» или пишут а < b и говорят «а меньше b». Например, сравним числа 5 и 7.
Число 7 в ряду натуральных чисел находится правее. Следо¬вательно, 7 > 5.
Натуральные числа можно сравнивать и по их записи. Пра¬вила сравнения заключаются в следующем:
Числа равны, если у них одинаковое число разрядов и цифры соответствующих разрядов одинаковые: числа 123 и 123 равны.
Из двух чисел больше то, у которого число разрядов больше.
101 > 99, потому что число 101 содержит на один разряд больше числа 99.
Из двух чисел с одинаковым числом разрядов больше то, у которого цифра высшего разряда больше. Например, число 31 больше 29, так как цифра разряда десяток первого числа больше цифры разряда десятков вто¬рого числа.
Если цифры высшего разряда двух чисел с одинаковым чис¬лом разрядов одинаковые, то для сравнения этих чисел надо обратиться к наибольшему разряду, для которых цифры дан¬ных чисел различны. 123 > 113, потому что оба числа трёх¬значные, цифры разряда сотен у них одинаковые, а цифра разряда десятков у первого числа больше цифры разряда де¬сятков у второго числа.
5. В числах некоторые цифры заменили звёздочками. Там, где можно, поставь знаки >, <.
9 и *1. Рассуждаем так: Число 9 – однозначное, а число *1 – двузначное. Следовательно, 9 < *1.
2* и 7*. Рассуждаем так: Оба числа – двузначные, но у числа 7* цифра десятков больше цифры десятков числа 2*. Следовательно, 2* < 7*.
4* и 46. Рассуждаем так: Оба числа – двузначные, цифры десятков у чисел одинаковые. Могут быть различными только цифры единиц, но вместо звёздочки может стоять как цифра 1, так 2, 3 и так далее. Следовательно, данные числа сравнить нельзя.
3** и 5**. Рассуждаем так: Оба числа – трёхзначные, но у числа 5** цифра сотен больше, чем у числа 3**. Следова¬тельно, 3** < 5**.
**8 и **6. Рассуждаем так: Нельзя определить, какое число больше, а какое меньше, так как оба числа трёхзнач¬ные, а какие цифры стоят вместо звёздочек неизвестно.
295 и 2*4. Рассуждаем так: Оба числа – трёхзначные. До¬пустим, что вместо звёздочки в числе 2*4 стоит цифра 9, но и в этом случае 295 > 2*4, так как цифра единиц у числа 2*4 меньше.
75* и 74*. Рассуждаем так: Оба числа – трёхзначные. Цифра разряда единиц данных чисел не играет роли, так как у числа 75* цифра десятков больше, чем у числа 74*. Следова¬тельно, 75* > 74*.
§ 6. Сложение. Законы сложения.
В одной вазе 3 яблока, а в другой 5 яблок. Сколько всего яб¬лок?
Чтобы узнать общее количество яблок нужно сложить числа:
5 + 3 = 8.
Числа, которые складываются, называются слагаемые. Число, которое получается в результате сложения, называется сум¬мой.
Сумма чисел не изменится, если слагаемые поменять мес¬тами:
5 + 3 = 3 + 5.
Математики говорят так: «От перестановки слагаемых сумма не изменится (переместительный закон)». Записывают этот закон в виде равенства: а + b = b + а.
Слагаемые можно объединять как угодно. Например, требу¬ется сложить числа 3, 2, 4. Сложение можно производить по-разному:
(3 + 2) + 4 = 9 (3 + 4) + 2 = 9
Математики говорят так: «Чтобы к сумме двух чисел приба¬вить третье, можно к первому числу прибавить сумму вто¬рого и третьего (сочетательный закон)». Записывают этот за¬кон в виде равенства: (а + b) + c = a + (b + c).
§ 7. Вычитание.
Было 9 яблок. Три дали малышу. Сколько осталось? Чтобы узнать, какое количество яблок осталось, надо из 9 яблок вы¬честь 3 яблока: 9 – 3 = 6.
Число, из которого вычитают, называют уменьшаемым. Число, которое вычитают, называют вычитаемым. Число, ко¬торое получают в результате вычитания, называют разно¬стью.
§ 8. Умножение. Законы умножения.
Умножить натуральное число 3 на натуральное число 4 – это означает найти сумму четырёх слагаемых, каждое из которых есть 3. Таким образом: 3 • 4 = 3 + 3 + 3 + 3.
Число 3 называют множимым, 4 – множителем, а число 3 • 4 – их произведением.
Переместительный закон умножения говорит о том, что мно¬жимое и множитель можно менять местами и произведение, то есть результат умножения, от этого не меняется. Выража¬ется этот закон равенством:
а • b = b • а.
Сочетательный закон умножения говорит о том, что произве¬дение нескольких множителей не изменится, если множители заменить их произведением:
4 • 2 • 3 = (4 • 2) • 3 = 4 • (2 • 3).
(а • b) • с = а • (b • с).
Распределительный закон говорит о том, что, если требуется умножить сумму двух чисел, то умножение можно произво¬дить так: каждое слагаемое умножить на множитель, а произ¬ведение сложить:
(4 + 3 ) • 2 = (4 • 2) + ( 3 • 2) = 8 + 6 = 14.
а • (b + c) = а • b + а • с.
Если а > в, то верно также и равенство:
с • (а – в) = с • а – с • в.
Произведение двух множителей равно 0, если один из множителей равен 0: 16 • 0 = 0.
Произведение любого числа на 1 равно числу, которое умножили: 6 • 1 = 6.
§ 9. Деление.
Пусть а и b – натуральные числа и а больше или равно b. Го¬ворят, что а делится на b нацело, если существует натураль¬ное число с, произведение которого на b равно а:
а = с • b.
При этом пишут а : b = с и называют а делимым, b – делите¬лем, с – частным.
Любое натуральное число а делится на 1 и само на себя:
а : 1 = а, а : а = 1.
Частное равно 0, если делимое равно 0.
На 0 делить нельзя.
§ 10. Признаки делимости.
Если число оканчивается цифрой 0, то оно делится на 10. Например, 130 делится на десять, потому что 130 = 13 • 10.
Если число оканчивается на 0 или 5, то оно делится на 5. На¬пример, число 90 делится на 5, потому что 90 = 9 • 10, а 10 делится на 5.
Если число оканчивается на цифры 0, 2, 4, 6, 8, то оно де¬лится на 2. Например, число 136 делится на 2, потому что
136 = 130 + 6 = (13 • 10) + 6. Числа 10 и 6 делятся на 2.
Если сумма цифр числа делится на 9, то и само число делится на 9. Например, сумма цифр 7245 делится на 9: 7 + 2 + 4 + 5 = 18. Число 7245 делится на 9, потому что его можно предста¬вить в виде:
7 • 1000 + 2 • 100 + 4 • 10 + 5 = 7 • (999 + 1) + 2 • (99 +1) +
+ 4 • (9 + 1) + 5 = (7 • 999 + 2 • 99 + 4 • 9) + (7 + 2 + 4 +5), где сумма в первой скобке делится на 9. А во второй скобке стоит сумма цифр данного числа, делящаяся на 9.
Если сумма цифр числа делится на 3, то и само число делится на 3. Например, у числа 375 сумма цифр делится на 3:
(3 + 7 + 5 = 15) и оно само делится на 3, потому что
375 = 3 • 100 + 7 • 10 + 5 = 3 • (99 +1) + 7 • (9 + 1) + 5 =
= (3 • 99 + 7 • 9) + (3 + 7 + 5), где сумму в первой скобке делится на 3, а второй стоит сумма цифр числа 375, тоже де¬лящаяся на 3.
§ 11. Деление с остатком.
Число 14 не делится нацело на 3, так как нет натурального числа, произведение которого на 3 равно 14.
Если последовательно перемножать числа натурального ряда на 3, получим числа, расположенные в возрастающем порядке:
1 • 3 = 3, 2 • 3 = 6, 3 • 3 = 9, 4 • 3 = 12, 5 • 3 = 15.
Среди данных чисел нет числа 14. Однако есть наибольшее число меньше 14, которое делится на 3 это число 12. Чтобы получить число 14, надо прибавить к 12 число 2, которое меньше 3.
Итак, справедливо равенство 14 = 4 • 3 + 2, где 4 – наибольшее число, произведение которого на 3 меньше 14. Это число называется неполным частным от деления 14 на 3, а число 2 – остатком. Остаток меньше делителя.
Результат деления записывают так:
14 : 3 = 4 (ост. 2).
Разделить число а на число b – это значит найти частное а : b, если а делится нацело на b, или найти неполное частное и ос¬таток, если а не делится нацело на b.
§ 12. Числовые и буквенные выражения. Равенства и не¬равенства. Формула.
Запись, в которой используются только числа, знаки арифме¬тических действий и скобки, называются числовыми выра¬жениями. Примеры:
3 + 5; 12 : 6; 7 + 5 : 3; (4 • 3) – 9.
Выражения, в которых некоторые числа обозначены буквами, называют буквенными. Пример:
5 + а; а – b; а • b; (9 + а) – с.
Если в числовом выражении провести указанные в нём действия, то получится некоторое число. Это число называется значением выражения.
Выражения, в записи которых используется знак =, называ¬ются равенствами. Например: а + b = c; 4 • 3 = 12.
Если в записи выражений используются знаки > или <, то их называют неравенствами. Например: а > c, 9 < 12.
Формулы – это верные равенства, устанавливающие взаимо¬связь между величинами.
Формулы помогают вычислять значения одной из неизвест¬ных величин по известным значениям остальных величин. Например, по формуле S = v • t, где S – это расстояние, v – это скорость, t – это время, можно найти расстояние, если из¬вестны скорость и время.
§ 13. Порядок действий в числовых выражениях.
Для упрощения числовых выражений, то есть постепенного выполнения действий и приведение числового выражения к наиболее простой форме, надо знать порядок выполнения этих действий.
Если числовое выражение без скобок содержит только сло¬жение и вычитание, то эти действия выполняют по порядку слева направо:
1 2 3
8 – 3 + 5 + 7
Если числовое выражение без скобок содержит только умно¬жение и деление, то эти действия выполняются по порядку слева направо:
1 2 3 4
7 • 8 : 2 : 4 • 5
Если числовое выражение без скобок содержит умножение и деление, а также сложение и вычитание, то сначала выпол¬няются умножение и деление, а потом – сложение и вычита¬ние:
3 1 4 2
4 + 24 : 6 – 3 • 2
Если в числовом выражении есть скобки, то сначала выпол¬няются все действия в скобках, а потом за скобками.
5 3 6 4 1 2
15 + 48 : 6 – 3 • (52 : 26 + 3)
§ 14. Сравнение именованных чисел и выражений.
6. Сравни числа: 4 м 2 дм 3 см и 523 см.
Рассуждаем так: Для того чтобы сравнить 2 именованных числа, надо выразить их в одних и тех же единицах измере¬ния. Выразим первое число в сантиметрах:
4 • 100 + 2 • 10 + 3 = 400 + 20 + 3 = 423 см.
Теперь сравниваем именованные числа: 423 см < 523 см.
7. Сравни выражения: а – 8 и а – 28.
Рассуждаем так: Буквой а в данных выражениях обозна¬чено уменьшаемое. Значение (разность) будет меньше в том выражении, у которого больше вычитаемое.
Следовательно, а – 8 > а – 28.
8. Сравни выражения: 46 – b и 57 – b.
Рассуждаем так: Буквой b в данных выражениях обозна¬чено вычитаемое. Вычитаемое в данных выражениях одина¬ковое, а уменьшаемое в выражении 46 – b меньше, чем в выражении 57 – b. Следовательно, 46 – b < 57 – b, так как значение первого выражения (разность) будет меньше, чем у второго выражения.
9. Сравни выражения: d : 4 и d : 8.
Рассуждаем так: В данных выражениях буквой d обозна¬чено делимое. Значение (частное) будет больше у того выра¬жения, у которого меньше делитель. Следовательно, d : 4 > d : 8.
10. Сравни выражения: 48 : m и 40 : m.
Рассуждаем так: В данных выражениях буквой m обозначен делитель. Делитель в данных выражениях одинаковый, а делимое выражения 48 : m больше делимого выражения 40 : m.
Следовательно, значение (частное) первого выражения больше значения (частного) второго выражения: 48 : m > 40 : m.
11. Сравни выражения: у + 205 и 502 + у.
Рассуждаем так: От перестановки слагаемых сумма не изменяется. В выражении 502 + у слагаемое 502 больше сла¬гаемого 205.
Следовательно, значение (сумма) выражения у + 205 бу¬дет меньше значения (суммы) выражения 502 + у.
Итак, у + 205 < 502 + у.
12. Сравни выражения: m • 3 и m : 3.
Рассуждаем так: В обоих выражениях буква m обозначает одинаковое число. В первом выражении число увеличиваем в 3 раза, а во втором уменьшаем в 3 раза.
Следовательно, m • 3 > m : 3.
13. Сравни выражения: а • 8 + а • 6 и 15 • а.
Рассуждаем так: Используя распределительный закон умножения преобразуем выражение
а • 8 + а • 6 = (8 + 6) • а = 14 • а.
Отсюда очевидно, что 14 • а < 15 • а.
14. Сравни выражения: а • 24 – а • 10 и а • 7.
Рассуждаем так: преобразуем первое выражение:
а • 24 – а • 10 = а • (24 – 10) = а • 14.
Отсюда очевидно, что а • 14 > а • 7.
15. Летели галки и сели на палки. Палок было 5. Если они сядут по одной на каждую палку, то некоторым галкам не хватит места, а если они сядут по две на каждую палку, то некоторые палки останутся свободными. Запиши неравенство для числа галок и реши его.
Решение.
Обозначим количество галок через х. Если они сядут по одной на каждую палку, то некоторым галкам не хватит места.
Следовательно, галок должно быть больше 5.
Итак первое неравенство: х > 5.
Если они сядут по две на каждую палку, то некоторые палки останутся свободными.
Следовательно, галок должно быть меньше 10.
Второе неравенсто: х < 10.
Объединим эти 2 неравенства и получим двойное нера¬венсто: 5 < х < 10.
Отюда х может быть равным 6, 7, 8, 9.
§ 15. Операции. Прямые и обратные операции.
Операция – это какое-либо физическое или умственное дей¬ствие, дающее результат.
Операции бывают прямыми и обратными. Примеры:
Сесть на стул – прямая операция. Встать со стула – обратная операция.
Сложение, вычитание, умножение и деление – это умствен¬ные операции, которые совершает человек решая математи¬ческие примеры и задачи. Вычитание –операция обратная сложению, деление – операция обратная умножению.
16. Петя придумал для Васи такую задачу: «Если к числу прибавить сначала 345, потому прибавить 37, а после этого вычесть 504, то получится 396. Какое это число?»
Решение.
Обозначим задуманное Петей число через х и произведём все операции, которые выполнил мальчик:
х + 345 + 37 – 504 = 396.
Теперь произведём обратные операции, чтобы найти число, которое задумал мальчик. А это значит, что операцию «вычитание» заменяем операцией «сложение», и наоборот, операцию «сложение» заменяем операцией «вычитание».
396 + 504 – 37 – 345 = 518.
Ответ. Петя задумал число 518.
17. Марина задумала число, вычла из него сначала 16, затем 32, а после этого прибавила 94 и вычла 145. В результате у неё получилось 144. Какое число задумала Марина?
Решение.
Эта задача решается так же, как задача № 17.
х – 16 – 32 + 94 – 145 = 144
144 + 145 – 94 + 32 + 16 = 243.
Ответ. Марина задумала число 243.
18. Наташа задумала число, умножила его на 2, прибавила 5, затем она разделила результат на 7, прибавила 49 и полу¬чила 52. Какое число задумала Наташа?
Решение.
Записываем выражение с прямыми операциями:
(х • 2 + 5) : 7 + 49 = 52.
Записываем выражение, в котором выполняем обратные операции:
((52 – 49) • 7 – 5) : 2 = 8.
Ответ. Наташа задумала число 8.
19. Задумай число, прибавь к нему 6, из суммы вычти 2, затем ещё вычти задуманное число, к результату прибавь 1. По¬лучится 5. Отгадай, почему так получается.
Решение.
х + 6 – 2 – х + 1 = 5
К числу х прибавили числа 6 и 1, а вычитали само это число и число 2. Остаётся число 5.
20. Однажды Иван-царевич сражался со Змеем Горынычем. Срубил Иван-царевич у Змея Горыныча половину всех его голов, а у Змея Горыныча выросли ещё 3 головы. Срубил Иван-царевич во второй раз 5 голов, а выросли ещё 4 го¬ловы. Собрал Иван-царевич последние силы и срубил ос¬тавшиеся 6 голов – и победил Змея-Горыныча. Сколько голов было у Змея Горыныча? Сколько голов было у Змея Горыныча вначале?
Решение.
Обозначим через х первоначальное количество голов Змея Горыныча и составим следующее уравнение и выпол¬ним вычисления:
(х : 2) + 3 – 5 + 4 – 6 = 0
х : 2 = 0 – 3 + 5 ¬– 4 + 6 = 4
х : 2 = 4
х = 4 • 2 = 8
Второй способ решения. Произведём обратные операции:
(0 + 6 – 4 + 5 – 3) • 2 = 8.
21. Летела стая гусей, а навстречу им гусак.
– Здравствуйте, 20 гусей.
– Нет, нас не 20. Если бы нас было в 2 раза больше, да ещё 3 гуся, да ещё ты с нами, тогда нас было бы 20.
Сколько было гусей?
Решение.
Обозначим через х первоначальное количество гусей и составим уравнение:
х • 2+ 3 + 1 = 20
2х = 16
х = 8
Второй способ решения. Произведём обратные операции:
(20 – 1 – 3) : 2 = 16 : 2 = 8.
Ответ. Было 8 гусей.
§ 16. Задачи на нахождение количества.
В задачах на нахождение количества надо, производя опера¬ции сложения или вычитания, деления или умножения, найти неизвестное количество чего-либо.
В задачах на нахождение количества надо правильно перево¬дить русский язык на математический.
Вопросы: «на сколько увеличилось?», «сколько стало?» означают, что надо производить операцию «сложение».
Вопросы: «на сколько больше?», «на сколько меньше?», «на сколько уменьши¬лось?» означают, что надо производить операцию «вычита¬ние».
Вопрос: «во сколько раз увели¬чилось?» означают, что надо производить операцию «умно¬жение».
Вопросы: «во сколько раз больше?», «во сколько раз меньше?», «во сколько раз умень¬шилось» означают, что надо производить операцию «деле¬ние».
22. Во 2 «А» классе учатся 32 человека, во 2 «Б» – 28 человек, а во 2 «В» – 30 человек. Во всех вторых классах учатся 52 девочки. Сколько мальчиков учатся во вторых классах?
Решение.
Известно, сколько учащихся в каждом классе. Следова¬тельно, можно найти общее количество учащихся. Для этого производим операцию «сложение»: 32 + 28 + 30 = 90 (чел.)
Производя операцию «вычитание», находим, сколько мальчиков обучаются во вторых классах: 90 – 52 = 38 (м.)
Ответ. Во вторых классах обучаются 38 мальчиков.
23. В автобусе ехало 28 пассажиров. На каждой остановке выходило 4 человека, а входило 6 человек. Сколько пас¬сажиров оказалось в автобусе после трёх остановок?
Решение.
Известно, что выходило 4, а входило 6 человек. 6 – 4 = 2. Следовательно количество пассажиров в автобусе увеличива¬лось на каждой остановке на 2 человека.
Остановок было 3, поэтому 2 + 2 + 2 = 6. Следовательно, через 3 остановки количество пассажиров в автобусе увели¬чилось на 6 человек.
Производя операцию «сложение» находим общее количе¬ство пассажиров в автобусе: 28 + 6 = 34.
Ответ. После 3 остановок в автобусе оказалось 34 пасса¬жира.
24. В школьную столовую привезли 115 рожков, 68 пирож¬ков, а булочек столько, сколько рожков и пирожков вме¬сте. Сколько выпечки привезли в столовую?
Решение.
Предложение «Булочек привезли столько, сколько рож¬ков и пирожков вместе» означает, что надо производить опе¬рацию «сложение». Находим сколько всего рожков и пирож¬ков и одновременно узнаём, какое количество булочек при¬везли.
115 + 68 = 183 (бул.)
Чтобы найти общее количество выпечки, складываем из¬вестные нам количества рожков, пирожков и булочек:
115 + 68 + 183 = 366 (шт.)
Ответ. В столовую привезли 366 штук выпечки.
25. В одном букете 39 ромашек. Это на 12 ромашек больше, чем во втором букете, но на 4 ромашки меньше, чем в третьем. Сколько ромашек в трёх букетах?
Решение.
В одном (первом) букете 39 ромашек. Это на 12 ромашек больше, чем во втором букете.
Следовательно, чтобы найти количество ромашек во вто¬ром букете выполняем операцию «вычитание»:
39 – 12 = 27 (р.)
В одном (первом) букете 39 ромашек, что на 4 ромашки меньше, чем в третьем. Следовательно, чтобы найти количе¬ство ромашек в третьем букете, выполняем операцию «сло¬жение»:
39 + 4 = 43 (р.)
Теперь узнаём, сколько всего ромашек в трёх букетах:
39 + 27 + 43 = 109 (р.)
Ответ. В трёх букетах 109 ромашек.
26. Семь помидоров весят 1 кг, а дыня весит 3 кг. Сколько помидоров уравновесят дыню?
Решение.
Семь помидоров весят 1 кг, а дыня весит 3 кг. Следова¬тельно, нужно взять три раза по 7 помидоров, чтобы уравно¬весить дыню: 7 • 3 = 21.
Ответ. Дыню уравновесят 21 помидор.
27. В одной пачке 50 книг. На сколько количество книг в 3 таких пачках меньше, чем в 5 таких пачках?
Решение.
Известно количество книг в пачке. Следовательно, можно найти сколько книг будет в 3 и 5 пачках:
50 + 50 + 50 = 50 • 3 = 150 (книг);
50 + 50 + 50 + 50 + 50 = 50 • 5 = 250 (книг).
На сколько количество книг в 3 таких пачках меньше, чем в 5 таких пачках? Для ответа на этот вопрос производим операцию «вычитание»: 250 – 150 = 100 (книг).
Ответ. В 3 пачках книг меньше, чем в 5 пачках на 100 книг.
28. У Иры 126 открыток. Это на 14 открыток меньше, чем у её сестры. Все открытки девочки расклеили в 3 альбома. В первый альбом они поместили 96 открыток, во второй альбом – на 12 открыток меньше, чем в первый, а осталь¬ные в третий альбом. Сколько открыток они поместили в третий альбом?
Решение.
У Иры 126 открыток. Это на 14 открыток меньше, чем у её сестры. Следовательно, чтобы узнать, сколько открыток у сестры Иры, производим операцию «сложение»:
126 + 14 = 140 открыток.
Все открытки девочки расклеили в 3 альбома. Следова¬тельно, надо узнать общее количество открыток:
126 + 140 = 266 открыток.
В первый альбом они поместили 96 открыток, во второй альбом – на 12 открыток меньше. Следовательно, чтобы уз¬нать, сколько открыток поместили во второй альбом, произ¬водим операцию «вычитание»:
96 – 12 = 84 открытки.
Остальные открытки поместили в третий альбом. Следо¬вательно, чтобы узнать, сколько открыток поместили в тре¬тий альбом, производим операцию «вычитание»:
266 – 96 – 84 = 86 открыток.
Ответ. В третий альбом поместили 86 открыток.
29. Кирпич весит 2 кг и ещё полкирпича. Сколько весят два кирпича?
Решение.
Кирпич весит 2 кг и ещё полкирпича. Смысл этого пред¬ложения в том, что полкирпича весят 2 кг. Следовательно, целый кирпич весит 2 + 2 = 4 кг, а 2 кирпича весят:
4 + 4 = 4 • 2 = 8 кг.
Ответ. Два кирпича весят 8 килограммов.
30. Высота сосны 20 м. По ней ползёт улитка, каждый день она поднимается на 2 метра вверх и каждую ночь опуска¬ется на 1 вниз. За сколько дней улитка поднимется на вершину со¬сны.
Решение.
День + ночь – это сутки. За сутки улитка продвинется вверх по сосне на 1 метр (2 – 1 = 1).
Подвох заключается в том, что в последний день подъёма ночь не учитывается. За 18 суток улитка поднимется на 18 метров, а на 19 день она доберётся до вершины, так как 18 метров + 2 метра = 20 метрам.
Ответ. Улитка поднимется на вершину сосны за 19 дней.
31. 2 чашки и 2 кувшина весят столько же, сколько 14 блю¬дец. Один кувшин весит столько, сколько одна чашка и одно блюдце. Сколько блюдец уравновесят один кувшин?
Решение.
2 чашки и 2 кувшина весят столько же, сколько 14 блю¬дец. Запишем это предложения в виде равенства:
2 чашки + 2 кувшина = 14 блюдец.
Нетрудно заметить, что каждую часть равенства мы мо¬жем разделить на 2:
1 чашка + 1 кувшин = 7 блюдцам (равенство № 1).
Один кувшин весит столько, сколько одна чашка и одно блюдце. Запишем это предложение в виде равенства:
1 кувшин = 1 чашка + 1 блюдце (равенство № 2).
Заменим в равенстве № 1 кувшин правой частью равен¬ства № 2:
1 чашка + 1 чашка + 1 блюдце = 7 блюдцам
2 чашки + 1 блюдце = 7 блюдцам.
2 чашки = 6 блюдцам.
1 чашка = 3 блюдцам.
Вычислим, сколько блюдец уравновесят кувшин. Для этого в равенство № 1 подставим вместо чашек количество блюдец, которые уравновешивают чашку:
3 блюдца + 1 кувшин = 7 блюдцам.
1 кувшин = 4 блюдцам.
Ответ. 1 кувшин уравновесят 4 блюдца.
32. На зиму заготовили 6 банок малинового варенья, виш¬нёвого – в 2 раза больше, чем малинового, а клубничного – на 4 банки меньше, чем вишневого. Сколько банок варенья за¬го¬товили на зиму?
Решение.
На зиму заготовили 6 банок малинового варенья, вишнё¬вого – в 2 раза больше, чем малинового. Следовательно, надо вы¬полнить операцию «умножение», чтобы найти количество банок вишневого варенья: 6 • 2 = 12 банок.
Клубничного варенья заготовили на 4 банки меньше, чем вишневого. Следовательно, выполняем операцию «вычита¬ние»:
12 – 4 = 8 банок клубничного варенья.
Сколько банок варенья заготовили на зиму? Для ответа на этот вопрос выполняем операцию «сложение»:
6 + 12 + 8 = 26 (б.)
Ответ. Заготовили 26 банок варенья.
33. В один день Ира прочитала 21 страницу, во второй день – в 2 раза больше, чем в первый, а в третий день на 15 стра¬ниц меньше, чем во второй день. Сколько страниц прочи¬тала Ира за 3 дня?
Решение.
В один день Ира прочитала 21 страницу, во второй день – в 2 раза больше, чем в первый. Следовательно, чтобы уз¬нать, какое количество страниц она прочитала во второй день про¬изводим операцию «умножение»: 21 • 2 = 42 страницы.
В третий день Ира прочитала на 15 страниц меньше, чем во второй день. Следовательно, чтобы узнать, какое количе¬ство страниц она прочитала в третий день, производим опе¬рацию «вычитание»: 42 – 15 = 27 страниц.
Сколько страниц прочитала Ира за 3 дня? Чтобы ответить на этот вопрос, производим операцию «сложение»:
21 + 42 + 27 = 90 страниц.
Ответ. За 3 дня Ира прочитала 90 страниц.
34. Три купца хотят поделить между собой 21 бочонок квасу, из которых 7 полных, 7 наполненных наполовину и 7 пус¬тых. Как им это сделать, чтобы у каждого оказалось оди¬наковое количество квасу и бочонков?
Решение.
7 полных бочек – это 14 наполненных наполовину бочек. Плюс ещё 7 наполненных наполовину бочек – 21 наполнен¬ных наполовину бочек. Число 21 делится на 3. Каждый купец получит по 7 наполненных наполовину бочек квасу.
Первый купец – 7 половинок = 3 полные бочки плюс 1 бочка наполовину полная.
Второй и третий купец ¬– 7 половинок = 2 полные бочки плюс по 3 наполовину пустые.
Итак, у каждого купца одинаковое количество квасу – три полных бочки и одна наполовину полная.
Теперь сосчитаем, сколько бочек у первого купца – 4 бочки. Следовательно, надо добавить ему 3 пустых бочки, чтобы получилось семь.
У двух других купцов по 5 бочек. Следовательно, остав¬шиеся 4 пустые бочки разделим между ними поровну.
Итак, купцы получили:
1 купец: 3 полных бочонка, 1 наполовину полный, 3 пус¬тых;
2 купец: 2 полных бочонка, 3 наполовину полных, 2 пус¬тых;
3 купец: 2 полных бочонка, 3 наполовину полных, 2 пус¬тых.
35. Андрей поймал 20 раков, Вася – в 2 раза меньше Анд¬рея, Юля на 12 раков меньше, чем Андрей и Вася вместе, а Даша поймала на 4 рака больше Васи. Сколько всего ра¬ков поймали ребята? Кто поймал больше раков и на сколько?
Решение.
Андрей поймал 20 раков, Вася – в 2 раза меньше Андрея. Следовательно, улов Васи: 20 : 2 = 10 раков.
Юля поймала на 12 раков меньше, чем Андрей и Вася вместе. Следовательно, улов Юли: (20 + 12) – 12 = 18 раков.
Даша поймала на 4 рака больше Васи: 10 + 4 = 14 раков.
Мальчики поймали: 20 + 10 = 30 раков.
Девочки поймали: 18 + 14 = 32 рака.
Всего ребята поймали: 32 + 30 = 62 рака.
Девочки поймали раков больше, так как 32 – 30 = 2 рака.
Ответ. Ребята поймали 62 рака. Девочки поймали на 2 рака больше, чем мальчики.
36. В школьном саду на грядках посадили 900 цветов, при¬чём 630 из них были гвоздики, а остальные розы. Гвоздики рассадили по 35 штук, а розы по – 30. Сколько всего получилось грядок?
Решение.
1. Известно общее количество цветов и количество гвоз¬дик. Находим количество роз.
2. Вычисляем, сколько грядок получилось с гвоздиками и розами. Количество гвоздик и роз делим на количество цве¬тов в ряду.
3. Находим общее количество грядок с цветами.
Ответ. Всего получилось 27 грядок.
§ 17. Последовательности.
Будем выписывать в порядке возрастания положительные чётные числа. Первое такое число равно 2, второе 4, третье 6 и так далее. Получим последовательность: 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16… .
Числа, образующие последовательность, называются членами последовательности.
Последовательность может содержать конечное число чле¬нов. В таком случае её называют конечной.
Чтобы задать последовательность, нужно указать способ, по¬зволяющий найти член последовательности с любым номе¬ром.
37. По какому правилу образована последовательность: 2, 1, 4, 3, 6, 5 … ?
Решение.
Сравниваем два первых числа 2 и 1. Число 1 меньше 2 на 1 единицу.
Сравниваем второй и третий член последовательности. Число 4 больше 1 на 3 единицы.
Сравниваем третий и четвёртый член последовательно¬сти. Число 3 меньше 4 на 1 единицу.
Делаем вывод: Три члена последовательности образуются так: второй член последовательности меньше первого на 1 единицу; третий член последовательности больше второго на 3 единицы. Следущие три члена последовательности образу¬ются по этому правилу.
38. По какому правилу образована последовательность: 4, 2, 8, 6, 12, 10 …?
Решение.
Сравниваем два первых члена последовательности: Число 4 больше числа 2 на 2 единицы.
Сравниваем второй и третий член последовательности: Число 8 больше числа 2 на 6 единиц.
Следовательно, второй член последовательности образу¬ется вычитанием из первого числа 2, а третий – прибавлением числа 6.
Проверяем, верен ли наш вывод:
8 – 2 = 6 6 + 6 = 12 12 ¬– 10 = 2.
39. По какому правилу составлена последовательность чи¬сел: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34… ?
Решение.
Первые два члена последовательности равны. Третий член последовательности равен сумме первых двух членов последовательности.
Высказываем предположение: каждое следующее число последовательности равно сумме двух предыдущих членов последовательности.
Проверяем наше предположение: 5 = 3 + 2; 8 = 5 + 3.
40. Найди закономерность образования числового ряда: 5, 6, 8, 11, 15, 20…
Решение.
Сравниваем первые два члена последовательности. Число 6 больше 5 на 1 единицу.
Сравниваем второй и третий член последовательности. Число 8 больше 6 на 2 единицы.
Сравниваем третий и четвёртый член последовательно¬сти. Число 11 больше 8 на 3 единицы.
Высказываем предположение: Каждый раз прибавляется на 1 единицу больше, чем при образовании предыдущего члена последовательности.
Проверяем наше предположение: 15 – 11 = 4; 20 – 15 = 5. Число 5 больше 4 на 1 единицу. Предположение (гипотеза) верно.
II. МЕТРИЧЕСКАЯ СИСТЕМА МЕР.
§ 18. Величины.
Длина, площадь, объём, вес – это величины. Величина есть результат измерения. Для обозначения величины пишут число, а рядом – название единицы.
Например: 5 см, 10 кг, 12 км, 4 т, 5 мин.
§ 19. Единицы длины.
Длину и расстояние измеряют линейными единицами: мил¬лиметрами (мм), сантиметрами (см), дециметрами (дц), мет¬рами (м).
Метр состоит из 10 дециметров. 1 дециметр – это одна деся¬тая часть метра: 1 дм = м.
Дециметр состоит из 10 сантиметров. 1 сантиметр – это деся¬тая часть дециметра или одна сотая часть метра:
1 см = дм = м.
Миллиметр – это одна десятая часть сантиметра, одна сотая часть дециметра, одна тысячная часть метра:
1мм = см = дц = м.
Для измерения больших длин используют единицу длины 1 километр, равную 1000 метрам. Пишут: 1 км = 1000 м.
В древней Руси пользовались такими единицами длины:
Пядь – расстояние между вытянутыми большим и указатель¬ным пальцами; это расстояние колеблется от 18 до 23 см.
Локоть – расстояние от конца среднего пальца руки до локтя; это расстояние колеблется от 38 до 46 см.
Сажень – различали «простую» (примерно 152 см), «махо¬вую» (примерно 176 см) и «косую» (примерно 213 см).
В XVI – XVII веках появились новые единицы длины: верста (примерно 1067 м), аршин (примерно 71 см), четверть (при¬мерно 18 см).
§ 20. Единицы массы.
Тонна, центнер, килограмм, грамм – меры массы, или еди¬ницы массы.
Основная единица массы – грамм.
Тысяча граммов называется килограммом: 1 кг = 1000 г.
Тысяча килограммов называется тонной: 1 т = 1000 кг.
На практике часто используют ещё одну единицы массы – центнер: 1 ц = 100 кг.
§ 21. Единицы времени.
Время измеряется в секундах, минутах, часах, сутках и в не¬которых других единицах.
Время, в течение которого Земля совершает полный оборот вокруг своей оси, называется сутками: 1 сутки = 24 часа.
Один час равен 60 минутам, а минута равна 60 секундам:
1 ч = 60 мин, 1 мин = 60 с, 1 ч = 3600 секунд.
Год есть время обращения Земли вокруг Солнца. 1 год – 365 суток и 6 часов.
По действующему во всём мире календарю считается, что если номер года делится на 4 (например, 198, то этот год содержит 366 суток. Такие годы называют високосными.
Год делится на 12 месяцев. Так как 365 и 366 не делится на 12, то пришлось распределить дни года между месяцами не¬равномерно:
По 31 дню – январь, март, май, июль, август, октябрь, де¬кабрь;
По 30 дней – апрель, июнь, сентябрь, ноябрь.
Февраль в зависимости от года содержит 28 или 29 дней.
Квартал содержит 3 месяца, декада – 10 дней, неделя – 7 су¬ток.
41. Самолёт вылетел в 7 часов 35 минут, а прилетел через 10 часов 20 минут. В котором часу прилетел самолёт?
Решение.
7 ч 35 мин + 10 ч 20 мин =
= (7 ч + 10 ч) + ( 35 мин + 20 мин) = 17 ч 55 мин.
Ответ. Самолёт прилетел в 17 ч 55 мин.
42. Поезд вышел утром в 9 часов 18 минут, а прибыл на стан¬цию назначения в 21 час 56 минут. Сколько времени он был в пути?
Решение.
21 ч 56 мин – 9 ч 18 мин =
= (21 ч – 9 ч) + (56 мин – 18 мин) = 12 ч 38 мин.
Ответ. Поезд был в пути 12 ч 38 мин.
43. Из Лидова в Кузьминки можно проехать на автобусе с пе¬ресадкой в Марьино или Сергеевке. Путь из Лидова в Марьино занимает 1 ч 48 минут. Из Марьино в Кузьминки – 1 ч 15 мин. Путь из Лидова в Сергеевку занимает 1 ч 25 мин. Из Сергеевки в Кузьминки 1 ч 35 мин. Какой путь избрать, чтобы быстрее добраться в Кузьминки, если из¬вестно, что в Марьино остановка автобуса 5 минут, а в Сергеевке – 15 ми¬нут?
Решение.
Найдём общее время пути через Марьино:
1 ч 48 мин + 1 ч 15 мин + 5 мин = 3 ч 08 мин.
Найдём общее время пути через Сергеевку:
1 ч 25 мин + 1 ч 35 мин + 15 мин = 3 ч 15 мин.
Так как 3 ч 08 мин меньше, чем 3 ч 15 мин, то через Марьино ехать выгоднее.
Ответ. Время в пути короче через Марьино.
§ 22. Переменная. Уравнение.
Переменной называют букву, вместо которой подставляют элементы какого-либо множества. То, что разрешается подставлять вме¬сто переменной, называют значением переменной. Напри¬мер, в равенстве х + 3 = 7, переменная – это х, его значение равно 4, так как 7 – 3 = 4.
В предложении «Ученик получил за ответ оценку х», пере¬менной может быть любой элемент множества «Оценки», то есть оценки 1, 2, 3, 4, 5.
Уравнением называют равенство, содержащее переменную, значение которой надо найти.
Значение переменной, при котором из уравнения получается верное равенство, называют корнем уравнения.
Решить уравнение – значит найти все его корни (или убе¬диться, что их нет, то есть уравнение не имеет решения).

Правила нахождения переменной.
х + 5 = 8
х = 8 – 5
х = 3 Неизвестно слагаемое. Чтобы найти неиз¬вестное слагаемое, надо из суммы вычесть известное слагаемое.
х – 3 = 4
х = 4 + 3
х = 7 Неизвестно уменьшаемое. Чтобы найти неиз¬вестное уменьшаемое, надо к разности при¬бавить вычитаемое.
7 – х = 4
х = 7 – 4
х = 3 Неизвестно вычитаемое. Чтобы найти неиз¬вестное вычитаемое, надо из уменьшаемого вычесть разность.
х • 3 = 6
х = 6 : 3
х = 2 Неизвестен множитель. Чтобы найти неиз¬вестный множитель, надо произведение раз¬делить на известный множитель.
х : 5 = 3
х = 5 • 3
х = 15 Неизвестно делимое. Чтобы найти неизвест¬ное делимое, надо делитель умножить на ча¬стное.
12 : х = 4
х = 12 : 4
х = 3 Неизвестен делитель. Чтобы найти неизвест¬ный делитель, надо делимое разделить на ча¬стное.
44. Миша задумал число, вычел из него 7, прибавил 25, по¬том прибавил ещё 4 и получил 35. Составь уравнение и найди, какое число задумал Миша?
Решение.
Обозначим через х неизвестное число и составим уравне¬ние: х – 7 + 25 + 4 = 35
Переносим в правую часть известные числа, меняя знаки на противоположные (т. е. производим обратные операции).
Знак «минус» у числа 7 меняется на знак «плюс», так как по правилу нахождения неизвестного уменьшаемого, надо к разности прибавить вычитаемое.
Знак «плюс» у чисел 25 и 4 меняется на знак «минус», так как по правилу нахождения неизвестного слагаемого, надо из суммы вычесть известное слагаемое.
х = 35 + 7 – 4 – 25
х = 15
Ответ. Миша задумал число 15.
45. Какие уравнения не имеют решений? В каких уравне¬ниях решением является любое число?
х • 1 = х. Так как для любого числа а • 1 = а, то решением данного уравнения будет любое число.
х : х = 1. Так как для любого числа а : а = 1, то решением данного уравнения будет любое число.
0 • х = 2. Так как для любого числа а • 0 = 0 и 0 • а = 0, то данное уравнение не имеет решения.
х : 0 = 0. Для любого натурального числа а не существует числа с, чтобы выполнялось равенство а : 0 = с, так как с • 0 = 0. Следовательно, данное уравнение не имеет решений.
46. Может ли переменная с в предложении: «За ответ уче¬ник получил отметку с» – принимать значения 3, 4, 6?
Рассуждаем так: В школе принята пятибалльная система оценок: единица, два, три, четыре, пять. Оценки «шесть» нет, следовательно, переменная с в предложении «За ответ ученик получил отметку с» не может принимать значение 6.
47. Одного мужичка спросили, сколько у него денег. Он от¬ветил: «Мой брат втрое богаче меня, отец втрое богаче брата, дед втрое богаче отца, а у всех у нас ровно 1000 рублей. Вот и узнайте, сколько у меня денег».
Решение.
Обозначим количество денег у мужичка через х и соста¬вим следующее уравнение:
х + 3 • х + (3 • х) • 3 + ( 3 • х) • 3 • 3 = 1000
х + 3х + 9х + 27х = 1000
40х = 1000
х = 25.
Ответ. У мужичка было 25 рублей.
§ 23. Скорость. Время. Расстояние.
Скоростью называют расстояние, пройденное в единицу вре¬мени. В качестве единиц измерения скорости обычно исполь¬зуют такие единицы, как метр в секунду (м/c), метр в минуту (м/мин), километр в час (км/ч).
Главный закон движения:
Расстояние (s) = скорость (v) • время (t),
Читается так: Расстояние равно скорости, умноженной на время.
Задачи о движении построены так, что из трёх звеньев, обра¬зующих формулу движения, два известны, а третье – неиз¬вестно.
Задачи о движении по сути – это нахождение неизвестного множителя или делимого и делителя. Сравните:
v • t = S х • 5 = 25
v = S : t х = 25 : 5
Правила нахождения неизвестного звена движения.
известные звенья неизвестное звено решение
скорость (v) и время (t) S (расстояние) S = v • t
расстояние (S) и время (v) t (время) t = S : v
расстояние (S) и время (t) v (скорость) v = S : t

Расстояние, на которое сближаются объекты за единицу вре¬мени, называется скоростью сближения.
Чтобы найти скорость сближения, скорости надо сложить:
Vсближения = V1 + V2.
Расстояние, на которое удаляются объекты за единицу вре¬мени, называются скоростью удаления.
Чтобы найти скорость удаления, скорости надо сложить:
Vудаления = V1 + V2.
48. Два поезда едут навстречу друг другу из двух городов. Один поезд прошёл до встречи 78 км, а другой – в 3 раза больше, чем первый. Какое расстояние между этими городами?
Решение.
Один поезд прошёл до встречи 78 км, а другой – в 3 раза больше, чем первый. Следовательно, чтобы узнать, какое расстояние прошёл второй поезд, производим операцию «ум¬ножение»: 78 • 3 = 234 км.
Какое расстояние между этими городами? Чтобы узнать расстояние между городами, надо сложить расстояния, которые прошли первый и второй поезд до встречи: 78 + 234 = 312 км.
Ответ. Расстояние между городами 312 км.
49. Поезд прошёл 224 км за 4 часа. Его скорость в 3 раза меньше скорости вертолёта. Какова скорость вертолёта?
Решение.
По формуле движения находим скорость поезда:
224 : 4 = 56 км/ч.
Его (поезда) скорость в 3 раза меньше скорости вертолёта. Следовательно, производим операцию «умноже¬ние» для нахождения скорости вертолёта: 56 • 3 = 168 км/ч.
Ответ. Скорость вертолёта 168 км/ч.
50. Моторная лодка проплыл за 9 часов 180 км, а плот за 5 часов – 60 км. У кого из них скорость больше и на сколько?
Решение.
По формуле движения находим скорость лодки и плота:
180 : 9 = 20 км/ч 60 : 5 = 12 км/ч.
Теперь находим, чья скорость больше: 20 – 12 = 8 км/ч.
Ответ. Скорость моторной лодки больше на 8 км/ч.
51. Машина выехала из города в 10 часов и прибыла в де¬ревню в 3 часа дня. С какой скоростью она ехала, если между городом и деревней 250 км?
Решение.
Вначале определим, какое время находилась в пути ма¬шина. 3 часа дня – это 15 часов. 15 – 10 = 5 часов находилась машина в пути.
По формуле движения находим скорость машины:
250 : 5 = 50 км/ч.
Ответ. Машина ехала со скоростью 50 км/ч.
52. Караван верблюдов шёл в первый день 8 часов со скоро¬стью 9 км/ч, во второй день – 6 ч со скоростью 8 км/ч, а в тре¬тий день – 9 ч со скоростью 7 км/ч. Какое расстояние прошёл караван за 3 дня?
Решение.
1. Известны скорость и время пути. Следовательно, по формуле движения находим путь, пройденный караваном за каждый день
2. Суммируем расстояния, пройденные караваном за каж¬дый день.
Ответ. За 3 дня караван прошёл 183 км.
53. Туристы решили пройти за день 30 км. Они уже прошли 3 часа со скоростью 6 км/ч. Какое расстояние им осталось пройти? За сколько времени они пройдут расстояние, дви¬гаясь с прежней скоростью?
Решение.
1. Вначале по формуле движения находим путь пройден¬ный туристами за 3 ч со скоростью 6 км/ч.
2. Производя операцию «вычитание» узнаем, какую часть пути им осталось пройти.
3. По формуле движения узнаем, сколько времени они будут находиться в пути двигаясь со скоростью 6 км/ч.
Ответ. Им осталось пройти 12 км, они пройдут это рас¬стояние за 2 часа.
54. Стоянка геологов находится на расстоянии 250 км от го¬рода. Чтобы добраться до стоянки, геологи сначала ехали из города 3 часа на машине со скоростью 72 км/ч, затем 2 часа ехали на лошадях со скоростью 9 км/ч, а после этого 4 часа шли пешком. С какой скоростью они шли пешком?
Решение.
1. По формуле движения находим путь, которое проехали геологи на машине и лошадях.
2. Находим расстояние, какое геологам нужно пройти пешком. Для этого вычтем из всего пути путь, который про¬ехали геологи на машине и лошадях.
3. По формуле движения находим, с какой скоростью двигались геологи пешком.
Ответ. Пешком геологи шли со скоростью 4 км/ч.
55. Между городами А и В расстояние 120 км. Между ними ходит маршрутное такси со скоростью 40 км/ч. Он имеет 4 остановки по 5 минут каждая. На конечной остановке ав¬тобус стоит 25 минут, а затем возвращается назад с теми же оста¬новками. В котором часу он вернётся в город А, если выехал из него в 10 ч 45 мин?
Решение.
1. По формуле движения находим время в пути без учёта остановок.
2. Суммируем время, которое «тратится» на остановки в обе стороны.
3. Находим общее время в пути.
4. Ко времени выезда автобуса из города прибавляем время, в которое маршрутный автобус находится в пути.
Ответ. Автобус вернётся в город А в 17 ч 50 минут.
56. Почтальон Печкин проехал на велосипеде 36 км за 2 часа. Затем он уменьшил скорость на 2 км/ч и проехал ещё 3 часа. Сколько всего километров проехал на велосипеде почтальон Печкин?
Решение.
1. По формуле движения находим первоначальную ско¬рость почтальона Печкина.
2. Производя операцию «вычитание» находим уменьшен¬ную скорость почтальона Печкина.
3. По формуле движения находим путь, который проехал почтальон Печкин за 3 часа с уменьшенной скоростью.
4. Суммируем весь путь, который проехал почтальон Печкин.
Ответ. Почтальон Печкин проехал всего 84 километра.
57. Пётр Иванович идёт пешком до вокзала, расположен¬ного в 6 км от его дома, делая в минуту 100 шагов по 8 дм каж¬дый. Когда ему надо выйти, чтобы прийти за 10 минут до отправления поезда, по расписанию поезд отправляется в 11 ч 27 минут?
Решение.
1. Переводим дециметры в метры и по формуле движения находим, сколько метров в минуту проходит Пётр Иванович (его скорость).
2. Переводим километры в метры и находим по формуле движения, время пути Петра Ивановича до вокзала.
3. От времени отправления вычитаем время, затрачивае¬мое на путь Петром Ивановичем.
Ответ. Петру Ивановичу надо выйти из дома в 10 ч 02 мин.
58. С одной и той же пристани в одном и том же направле¬нии вышли одновременно 2 парохода. Скорость одного из них 25 км/ч, а скорость другого – 32 км/ч. Каким будет рас¬стояние между пароходами через 6 часов?
Решение.
Найдём скорость отставания: 32 – 25 = 7 км/ч.
По формуле движения находим, на сколько отстанет па¬роход с меньшей скоростью: 7 • 6 = 42 километра.
Ответ. Через 6 часов расстояние между пароходами будет равно 42 километрам.
59. Из двух деревень навстречу друг другу шагают два ра¬бот¬ника. От нечего делать они стали считать свои шаги (в аршин каждый). Один насчитал в минуту 133 шагов, а другой – 167 шагов. Вышли они одновременно и через 5 минут встретились. Какое расстояние между деревнями? Один ар¬шин приблизительно равен 71 см.
Решение.
1. Находим скорость сближения.
2. По формуле движения найдем расстояние между де¬ревнями в шагах.
3. Переведем шаги в метры, а затем в километры и метры.
Ответ. Расстояние между деревнями составляет 1 км 065 м.
60. Из Москвы и Твери в Санкт-Петербург по одному шоссе выехали одновременно 2 машины. Из Москвы – легко¬вая, а из Твери – грузовая. Скорость грузовой машины 50 км/ч. Какова скорость легковой машины, если она догнала грузовую через 7 часов после выезда, а расстояние от Мо¬сквы до Твери 168 километров?
Решение. Первый способ.
Находим скорость сближения автомобилей:
168 : 7 = 24 (км/ч).
Находим скорость легковой машины:
50 + 24 = 74 (км/ч).
Второй способ.
Находим путь, который проехала грузовая машина до встречи: 50 • 7 = 350 (км).
Находим путь, который проехала легковая машина до встречи:
350 + 168 = 518 (км).
Находим скорость легковой машины:
518 : 7 = 74 (км/ч).
Ответ. Скорость легковой машины 74 км/ч.
§ 24. Стоимость, цена, количество.
Стоимость – величина затрат на что-либо.
Цена – стоимость единицы товара (1 штуки, 1 метра, 1 кило¬грамма, 1 литра, 1 центнера, 1 тонны и так далее).
Обозначим стоимость товара через с, его цену через а, а ко¬личество товара через n, тогда формула стоимости будет иметь вид:
С (стоимость) = а (цена товара) • n (количество).
Задачи о стоимости по сути – это нахождение неизвестного множителя или делимого и делителя. Сравните:
а • n = C х • 5 = 25
a = C : n х = 25 : 5

Нахождение неизвестного звена по формуле стоимости.
известные звенья неизвестное звено решение
цена (а) и количество (n) С (стоимость) C = a • n
стоимость(С) и количество (n) a (цена) a = C : n
стоимость (С) и цена (а) n (количество) n = C : a
61. Мама купила 5 ложек по 8 рублей за штуку и 7 вилок. За ложки и вилки она заплатила 75 рублей. Сколько стоят вилки?
Решение
Эта задача в два действия. Что нужно узнать вначале? Сколько стоят 5 ложек. Известны цена ложки (8 рублей) и количество ложек (5 штук).
Чтобы узнать стоимость, нужно цену умножить на коли¬чество.
5 • 8 = (40 руб.)
Чтобы узнать, сколько стоят вилки нужно вычесть из об¬щей стоимости покупки стоимость ложек.
75 – 40 = 35 (руб.)
Ответ. 7 вилок стоят 35 рублей.
62. Мама купила 5 ложек, за которые заплатила 40 рублей, и 7 вилок. За вилки и ложки мама заплатила 75 рублей. Сколько стоит одна вилка?
Решение.
Вначале нужно узнать, сколько стоят вилки.
75 – 40 = 35 (руб.)
Теперь известно, что 7 вилок стоят 35 рублей. Нужно уз¬нать, сколько стоит 1 вилка.
Чтобы найти цену, нужно стоимость разделить на количе¬ство.
35 : 7 = 5 (руб.)
Ответ. Одна вилка стоит 5 рублей.
63. Мама купила 5 ложек, за которые заплатила 40 рублей, и несколько вилок. За вилки и ложки мама заплатила 75 рублей. Сколько вилок купила мама, если известно, что одна вилка стоит 7 рублей?
Решение.
Эта задача в два действия. Вначале нужно узнать стои¬мость всех вилок.
75 – 40 = 35 (руб.)
Теперь известно, что за все вилки заплатили 35 рублей. Нужно узнать, сколько вилок купили.
Чтобы найти количество, нужно стоимость разделить на цену.
35 : 7 = 5 (вил.)
Ответ. Купили 5 вилок.
§ 25. Работа. Время. Производительность.
Работа – это та или иная деятельность по созданию, изготовлению, обработке чего-либо. Укладка кирпичей, мытье посуды, чтение книги – это различные виды работ.
Производительность – это работа, выполненная за единицу времени. Например, за минуту (единица времени) можно вымыть 2, 3 или 4 тарелки. Чем больше вымыто тарелок за одну минуту, тем выше производительность.
Если обозначить всю выполненную работу буквой А, произ¬водительность – буквой v, а время буквой t, то формулу ра¬боты можно записать так:
А (работа) = v (производительность) • t (время).
Задачи о работе по сути – это нахождение неизвестного мно¬жителя или делимого и делителя. Сравните:
v • t = А х • 5 = 25
v = А : t х = 25 : 5

Нахождение неизвестного звена по формуле работы.
Известные звенья неизвестное звено решение
Время (t) и производительность (v) А (работа) A = v • t
Работа (A) и производительность (v) t (время) t = A : v
Работа (A) и время (t) v (производительность) v = А : t
64. Одна машинистка напечатала за 5 часов 60 страниц ру¬ко¬писи, а другая за 7 часов – 63 страницы. У какой из них больше производительность и на сколько?
Решение.
По формуле работы находим производительность каждой машинистки: а) 60 : 5 = 12 страниц в час печатает первая ма¬шинистка; б) 63 : 7 = 9 страниц в час печатает вторая маши¬нистка.
Так как 12 – 9 = 3, то производительность первой маши¬нистки больше.
Ответ. У первой машинистки производительность больше на 3 страницы.
65. Экскаватор за 1 час копает 18 м канавы. Одну канаву на нём выкопали за 7 часов, а другую – за 19 часов. Сколько метров канавы выкопал экскаватор за всё это время?
Решение.
Известно время работы и производительность, следова¬тельно по формуле работы находим произведённую работу: а) 18 • 7 = 126 метров выкопали за 7 часов; б) 18 • 19 = 342 мет¬ров выкопали за 19 часов.
Сколько метров канавы выкопал экскаватор за всё это время? Для ответа на этот вопрос суммируем работу:
126 + 342 = 468 (м).
Ответ. За всё время выкопали 468 метров.
66. Толя начал читать книгу, когда Серёжа прочитал уже 24 страницы такой же книги. Догонит ли Толя Серёжу через 5 дней, если Толя читает в день 18 страниц, а Серёжа 12 стра¬ниц?
Решение.
По формуле работы находим, какое количество страниц прочитает Серёжа за 5 дней и прибавим 24 страницы, кото¬рые он уже прочитал: 12 • 5 + 24 = 84 страницы.
По формуле работы находим, какое количество страниц прочитает Толя за 5 дней: 18 • 5 = 90 страниц.
Ответ. Толя за 5 дней прочитает больше страниц, чем Се¬рёжа.
67. Библиотеке нужно переплести 1800 книг. Первая мас¬тер¬ская может выполнять эту работу за 3 дня, а вторая за 6 дней. За сколько дней переплетут все книги обе мастер¬ские, если будут работать одновременно?
Решение.
1. По формуле работы находим производительность каж¬дой мастерской.
2. Находим общую производительность.
3. По формуле работы находим, сколько дней будут рабо¬тать мастерские с общей производительностью.
Ответ. Переплетут за 2 дня.
68. За первые 14 рабочих дней завод изготовил 560 стираль¬ных машин, а затем стал изготовлять в день на 5 машин больше. Сколько машин выпустил завод за 20 дней?
Решение.
1. Известно время (14 дней) и работа (количество машин). По формуле работы находим производительность.
2. Находим новую производительность.
3. Узнаём, сколько дней работали с новой производитель¬ностью.
3. Находим, ка¬кое количество стиральных машин выпус¬тили за оставшиеся дни.
5. Суммируем работу за 14 дней и за оставшиеся дни.
Ответ. За 20 дней завод выпустил 830 стиральных машин.
ДОЛИ И ДРОБИ.
§ 26. Доли и обыкновенные дроби.
Если 1 кг рассыпать поровну в два пакета, то каждый из них будет иметь массу ½ кг. Число ½ выражает половину некото¬рой единицы (миллиметра, килограмма часа и так далее).
Доля – это одна из равных частей, на которые разделена еди¬ница.
Дробь – число, состоящее из одной или нескольких равных частей (долей) единицы.
В общем виде обыкновенная дробь записывается так: .
Числитель – это число, записанное над чертой.
Знаменатель – это число, записанное под чертой.
Дробная черта – это черта, отделяющая числитель от знаме¬нателя.
§ 27. Элементы обыкновенной дроби и их роль.
Каждый элемент обыкновенной дроби выполняет свою опре¬делённую роль.
Числитель показывает, сколько долей взяли от целого числа.
Пусть у нас есть лента размером 16 см. Число 16 – это целое.
Числитель дроби показывает, что дробь составлена из од¬ной доли. Знаменатель дроби показывает, на сколько рав¬ных долей разделили целое, то есть на 4 доли.
Дробная черта означает действие деления числителя на зна¬менатель, то есть показывает что 1 ленту разделили на 4. Так как размер ленты равен 16 см, то можно записать так: 16 : 4.
§ 28. Нахождение доли числа.
Решим задачу: От ленты 30 см отрезали . Сколько санти¬метров отрезали?
Рассуждаем так: Числитель показывает, сколько долей взяли от целого. Целое, по условию задачи равно 30 см.
Знаменатель показывает, на сколько равных долей разделили целое.
Следовательно, чтобы найти долю, надо целое разделить на 3:
30 : 3 = 10.
Ответ. доля от 30 равна 10 см.
Если обозначим знаменатель буквой n, то формулу нахожде¬ния доли числа можно записать так: .
Вместо 1 при нахождении доли числа всегда подставляется целое, значение которого указывается в усло¬вии задачи.
§ 29. Нахождение числа по его доле.
Решим задачу: Сколько стоит книга, если часть её цены составляет 12 рублей.
Рассуждаем так: Знаменатель показывает, на сколько равных долей разделили целое. Целое неизвестно, но известна его одна шестая часть: целое деленное на 6 равно 12. Следова¬тельно, чтобы найти целое надо знаменатель умно¬жить на 12: 6 • 12 = 72.
Ответ. Книга стоит 72 рубля.
При нахождении числа по его доли решается уравнение:
х = доля числа • знаменатель, где х – это целое число.
§ 30. Сравнение долей.
Пусть у нас есть 10 яблок. Если это количество разделить на 2, то в частном будет 5. Если это количество разделить на 5, то в частном будет 2. Следовательно, чем больше числовое значение делителя, тем меньше частное.
Из двух долей то меньше, у которого больше числовое значе¬ние делителя.
; ;
§ 31. Основное свойство дроби.
Вспомним самое важное свойство частного: делимое и дели¬тель можно умножить или разделить на одно и то же число – частное от этого не изменится. Это свойство записывается так:
а : b = (а • n) : (b • n), а : b = (а : n) : (b : n).
Так как числитель дроби – это делимое, а знаменатель – делитель, то это свойство частного применимо и к дроби. Величина дроби не изменится, если её числитель и знаменатель умножить или разделить на одно и то же число.

§ 32. Сравнение дробей.
Решим задачу: Была 1 плитка шоколада. Её разделили ме¬жду 2 малышами. Какую часть шоколада получил каждый ма¬лыш?
Ответ. Каждый малыш получил часть шоколада.
Очевидно, что если было 4 малыша, то каждый малыш полу¬чил бы часть шоколада.
Следовательно, из двух дробей с одинаковыми числите¬лями больше та, у которой знаменатель меньше.
; ; .
Из двух дробей с одинаковыми знаменателями больше та, у которой числитель больше:
.
§ 33. Нахождение части числа, выраженной дробью.
Решим задачу: Урок длится 45 минут. урока ученики пи¬сали самостоятельную работу. Сколько времени она дли¬лась?
Решение.
Согласно условию задачи нужно определить, сколько ми¬нут составляет от 45 минут.
Знаменатель показывает, на сколько равных долей разде¬лили целое (45 минут).
Следовательно, можно найти сколько минут приходится на 1 долю. Для этого целое разделим на знаменатель:
45 : 5 = 9 (мин)
Числитель показывает, сколько взяли долей от целого (45 минут).
Известно, сколько минут приходится на 1 долю.
Следова¬тельно, можно найти сколько минут приходится на 3 доли. Для этого 1 долю умножаем на 3:
9 • 3 = 27 (мин).
Ответ. Самостоятельную работу учащиеся писали 27 ми¬нут.
Какие арифметические действия мы выполнили, чтобы найти от 45 минут? Сначала целое разделили на знамена¬тель, а затем частное умножили на числитель.
Запишем формула нахождения части числа от целого:
Часть числа = число (целое) : знаменатель • числитель.
§ 34. Нахождение числа по его части, выраженной дробью.
Решим задачу: Заяц съел 6 морковок, что составляет от морковок, которые съели зайчата. Сколько морковок съели зайчата?
Решение.
Знаменатель дроби показывает, что всё неизвестное число разбито на 5 равных частей. Числитель показывает, что число 6 – это три доли от неизвестного числа.
Находим, сколько морковок приходится на 1 долю:
6 : 3 = 2 (морк.)
Теперь известно, что на одну долю приходится 2 мор¬ковки. Находим неизвестное число, в котором 5 долей:
2 • 5 = 10 (морк.)
Ответ. Зайчата съели 10 морковок.
Какие арифметические действия мы выполнили, чтобы найти число 15 по его дроби ?
Часть целого числа (6) разделили на числитель, а затем умножили на знаменатель. Запишем формулу нахождения це¬лого по его части, выраженной дробью:
Число (целое) = часть целого : числитель • знаменатель.
§ 35. Сложение обыкновенных дробей.
Мама купила плитку шоколада, которая имеет 12 равных долей. Три доли она дала сыну, а две дочери. Сколько долей она дала каждому ребёнку?
Конечно, 3 + 2 = 5 (долей).
Какую долю получил каждый ребёнок от целого, то есть от плитки шоколада?
Чтобы выразить дробью часть, которую одно число со¬ставляет от другого, надо первое число разделить на второе. В нашем случае это:
3 : 12 = и 2 : 12 = .
Теперь найдём, какую долю шоколада получили мальчик и девочка вместе:
.
Чтобы сложить две дроби с одинаковыми знаменателями, надо сложить числители, а знаменатель оставить тот же.
§ 36. Вычитание обыкновенных дробей.
При вычитании дробей с одинаковыми знаменателями надо из числителя первой дроби вычесть числитель второй дроби и оставить тот же знаменатель.
.
§ 36. Правильные и неправильные дроби.
Числитель дроби может быть или меньше, или больше, или равным знаменателю.
Дробь, в которое числитель меньше знаменателя, называ¬ется правильной дробью. Правильная дробь меньше 1. При¬меры:
.
Дробь, в которой числитель больше или равен знамена¬телю, называется неправильной дробью. Неправильная дробь больше или равна 1. Примеры:

§ 37. Смешанные числа.
Смешанным является число, которое содержит целую и дробную часть. Примеры:
, , , .
§ 38. Выделение целой части из неправильной дроби.
Чтобы из неправильной дроби выделить целую часть, надо:
1) числитель разделить на знаменатель до целого част¬ного с остатком или без остатка;
2) целое частное принимается за целую часть;
3) остаток от деления принимается за числитель;
4) знаменатель неправильной дроби принимается за зна¬менатель дробной части смешанного числа;
5) к целой части (к частному) приписывается полученная дробная часть.
Пример.
Преобразуем неправильную дробь в смешанное число.
1. Разделим числитель на знаменатель:
22 : 7 = 3 (ост. 1)
2. Частное 3 принимаем за целое число, остаток 1 – за числитель, знаменатель 7 – за знаменатель дробной части смешанного числа.
Полученное число выглядит так: и читается: три це¬лых и одна седьмая.
§ 39. Преобразование смешанных чисел в неправильные дроби.
Чтобы записать смешанное число в виде неправильной дроби, надо:
1) целую часть смешанного числа умножить на знамена¬тель дробной его части;
2) к полученному результату надо прибавить числитель его дробной части;
3) вновь полученный результат записать в числителе об¬ра¬зуемой дроби;
4) знаменатель дробной части смешанного числа перене¬сти в знаменатель получаемой дроби.
Получим из смешанного числа неправильную дробь.
1. Целую часть умножаем на знаменатель дробной части:
3 • 7 = 21.
2. К результату прибавляем числитель дробной части:
21 + 5 = 26.
3. Формируем неправильную дробь: число 26 записываем в числителе образуемой дроби, а знаменатель берём из дроб¬ной части смешанного числа.
Итак, получили: .
§ 40. Сложение целого числа с правильной дробью.
Чтобы сложить целое число с правильной дробью, надо к це¬лому числу приписать правильную дробь, получится сме¬шан¬ное число.
7 + .
§ 41. Сложение смешанного числа с правильной дробью.
Чтобы сложить смешанное число и правильную дробь, имеющую знаменатель, совпадающий со знаменателем дроб¬ной части смешанного числа, надо сложить дробную часть смешанного числа с правильной дробью и результат припи¬сать к целой части смешанного числа.
Сложим и .
+ = 5 + .
§ 42. Сложение смешанных чисел.
Чтобы сложить смешанные числа, надо сложить отдельно их целые и дробные части.
Сложим смешанные числа и .
+ = (7 + 9) + = 16 + 16
Если при сложении дробной части смешанных чисел об¬разу¬ется неправильная дробь, то из этой дроби надо выделить це¬лую и дробную часть.
+ = (7 + 9) + = 16 +
§ 43. Вычитание смешанных чисел.
Чтобы вычесть смешанные числа, надо вычесть отдельно их целые и дробные части
– = (7 – 5) + = 2 + 2
Если при вычитании дробная часть уменьшаемого меньше дробной части вычитаемого, то надо раздробить еди¬ницу уменьшаемого.
.

Задачи.
69. Арбуз весит 8 кг. Сколько весит половина арбуза?
Решение.
Надо найти, сколько весит часть арбуза. За единицу принимаем вес арбуза (8 кг). Вес делим на два: 8 : 2 = 4 кг.
70. Яблоко весит 400 грамм. Сколько весит этого яблока?
Решение.
Надо найти вес пятой части яблока. За единицу прини¬маем вес яблока (400 г). Вес делим на пять: 400 : 5 = 80 грамм.
71. садового участка составляет 200 м2. Какова площадь этого участка?
Решение.
Четвёртая часть участка равна 200 квадратным метрам. Целое (размер всего участка) разделили на 4 и полу¬чили 200 м2.
Следовательно, для нахождения целого надо произвести обратную операцию: 200 • 4 = 800 м2.
Ответ. Площадь садового участка 800 м2.
72. Петя готовил уроки 2 часа. На математику он потратил этого времени, а на географию – оставшегося времени. Сколько минут Петя готовил уроки по математике и сколько – по географии?
Решение.
Переводим часы в минуты: 2 часа = 120 минут.
Число 120 – это целое. Предложение: «На математику он потратил этого времени» означает, что третью часть от 120 минут Петя потратил на математику. Следовательно:
120 : 3 = 40 минут потратил Петя на математику.
Предложение: «На географию Петя потратил оставше¬гося времени» означает, что за целое надо принимать остав¬шееся время, то есть 120 – 40 = 80 минут. Отсюда: 80 : 4 = 20 минут.
Ответ. На математику Петя потратил 40 минут, а на гео¬графию – 20 минут.
73. Сделав 16 деталей рабочий выполнил часть задания. Сколько деталей ему осталось сделать?
Решение.
Предложение: «Сделав 16 деталей рабочий вы¬полнил часть задания» означает, что четвёртая часть це¬лого (всё за¬дание) равна 16 деталям. Следовательно, чтобы найти целое, надо 16 умножить на 4.
Требуется узнать, сколько деталей осталось сделать. Сле¬довательно, от целого надо отнять количество готовых дета¬лей (четвёртую часть).
Ответ. Рабочему осталось сделать 48 деталей.
74. На базу в Антарктиду доставил 22 собаки. Из всех со¬бак составили упряжку, на которой отправились в поход. Сколько собак не вошло в упряжку?
Решение.
Сначала находим, какое количество собак со¬ставило уп¬ряжку. Знаменатель дроби показывает, на сколько частей раз¬делили целое (22), а числитель – сколько долей взято:
22 : 11 • 5 = 10 собак запрягли в упряжку.
Находим, сколько собак не вошло в упряжку:
22 – 10 = 12 собак.
Ответ. В упряжку не вошло 12 собак.
75. Отцу было 26 лет, когда родилась дочь, и 30 лет, когда родился сын. Сколько лет сыну, если дочери 7 лет?
Решение.
Находим, на сколько дочь старше сына:
30 – 26 = 29 (1 + ) – 26 = (29 – 26) +
+ ( ) = 3 .
Находим возраст сына:
7 – 3 = 6 (1 + ) – 3 = 3 .
Ответ. Сыну 3 лет.
76. Когда сын спросил отца, сколько отцу лет, отец ответил: «Через 15 лет тебе будет столько лет, сколько мне было 9 лет назад. Сыну 8 лет. Сколько лет отцу и матери, если мать на 4 лет моложе отца?
Решение.
Находим, сколько лет будет сыну через 15 :
8 + 15 = 24 (лет).
Находим сколько лет отцу:
24 + 9 = 33 (лет).
Находим сколько лет матери:
33 – 4 = 29 (лет).
Ответ. Отцу 33 года, матери 29 лет.
77. Ледокол 3 дня пробивал себе путь во льдах. В первый день он прошёл всего пути, во второй день – остав¬ше¬гося пути, а в третий день – оставшиеся 90 км. Какой путь прошёл ледокол за 3 дня пути? Сколько километров прошёл в первый и во второй день?
Решение.
Нам известно, что в третий день ледокол прошёл 90 км. Неизвестно, какая эта доля пути. Следовательно, находим долю пути, которую прошёл ледокол в третий день. Остав¬шийся путь принимаем за целое, которую представим в виде дроби: , вычтем из него долю пути, которую прошёл ледо¬кол за второй день: .
По формуле нахождения числа по его доле находим, ка¬кой путь прошёл ледокол за второй и третий день: 90 : 3 • 8 = 240 км.
Теперь примем за целое весь путь и найдём, какую долю пути осталось пройти ледоколу за второй и третий день:
.
По формуле нахождения числа по его доле находим весь путь, который прошёл ледокол за три дня: 240 : 3 • 5 = 400 км.
По формуле нахождения части числа находим, какой путь прошёл ледокол за первый и второй день:
400 : 5 • 2 = 160 км – в первый день;
240 : 8 • 5 = 150 км – во второй день.
Ответ. В первый день ледокол прошёл 160 км, во второй день – 150 км; за три дня – 400 км.
78. Камень, брошенный вниз, пролетает в 1 секунду 4 метра, а в каждую следующую секунду на 9 метра больше, чем в предыдущую. Найди глубину ущелья, если брошенный в него камень летит в течение 3 секунд.
Решение.
1. Находим, сколько метров пролетит камень во вторую секунду:
4 + 9 =13 = 14 (м).
2. Находим, сколько метров пролетит камень в третью се¬кунду:
14 + 9 = 23 = 24 (м).
3. Суммируем весь путь:
4 + 14 + 24 = 42 = 44 (м).
Ответ. Глубина ущелья составляет 44 метра.
79. Медведь в кошелке нёс плюшки. На лесной опушке он съел половину плюшек и плюс полплюшки. Шёл, шёл, ус¬тал. Сел отдохнуть. Вновь съел половину плюшек и плюс пол¬плюшки. Шёл, шёл, устал. Сел отдохнуть. Вновь съел поло¬вину плюшек и плюс полплюшки. Когда он вошёл к себе в дом у него не осталось плюшек. Сколько плюшек было у медведя?
Решение.
Обозначим первоначальное количество плюшек через х и составим следующие уравнения:
(х : 2) – = d, где d – число оставшихся плюшек.
(d : 2) – = c, где с – число оставшихся плюшек.
(с : 2) – = 0.
Решим последнее уравнение:
(с : 2) – = 0.
с : 2 = 0 + .
с = • 2 = 1.
Подставим во второе уравнение вместо с число 1, решим его. Найдём, что d = 3. Подставим в первое уравнение вместо d число 3, решим его. Найдём, что х = 7.
Ответ. У медведя в кошелке было 7 плюшек.
§ 44. Проценты.
Дробь, знаменатель которой равен 100, называют процентом. Обозначает процент так: 1%.
При решении задач на проценты всё число принимаем за 100%.
80. Найдём 1% от 36.
Рассуждаем так: Число 36 – это 100%. Следовательно,
1% – это число 36 делённое на 100:
36 : 100 = .
81. Найти число, 30% которого равны 60.
Если 30% числа равны 60, то 1% равен 60 : 30 = 2.
Если 1% числа равно 2, то само число в 100 раз больше:
2 • 100 = 200.
82. Из 800 учащихся школы 45% – мальчики. Сколько дево¬чек учатся в этой школе?
Решение.
Находим, сколько мальчиков учатся в школе:
(800 : 100) • 45 = 360.
Находим, сколько девочек учатся в школе: 800 – 360 = 440.
Ответ. В школе учатся 440 девочек.
83. В комнате у дедушки в полдень бьют часы. Продолжи¬тельность боя составляет один процент от одного часа. Сколько секунд продолжается бой часов?
Решение.
Переводим часы в секунды: 1 час = 3600 секунд.
Находим 1% от 3600 секунд: 3600 : 100 = 36 секунд.
Ответ. Бой часов продолжается 36 секунд.
84. В магазине повесили объявление: «Цены увеличены на 1%». Сколько надо теперь платить за товар, который раньше стоил 7500 рублей.
Решение.
1. Находим один процент от 7500 рублей.
2. К старой цене прибавляем столько рублей, сколько со¬ставляет один процент от 7500 рублей.
Ответ. Новая цена товара составит 7575 рублей.
85. В магазине повесели объявление: «Цены снижены на один процент». Сколько надо теперь платить за товар, кото¬рый раньше стоил 7500 рублей?
Решение.
1. Находим один процент от 7500 рублей.
2. От старой цены вычитаем столько рублей, сколько со¬ставляет один процент от 7500 рублей.
Ответ. Новая цена товара составит 7425 рублей.
86. В ларёк привезли 700 кг помидоров. До обеда продали 25% всех помидоров, а после обеда – 40% всех помидо¬ров. Сколько помидоров осталось?
Решение.
1. Находим, сколько килограммов составляет один про¬цент от 700 кг.
2. Известно, сколько процентов помидоров продали до обеда и после обеда. Известно, сколько килограммов состав¬ляет один процент помидоров. Находим сколько килограммов помидоров продали до и после обеда.
3. Для ответа на вопрос «Сколько помидоров осталось?» суммируем количество помидоров, проданных до и после обеда и найденную сумму вычитаем из общего количества помидоров.
Ответ. Осталось 245 кг помидоров.
87. Из 100 кг винограда получают 25 кг изюма. Какую часть винограда составляет испарившаяся вода? Вырази эту часть в процентах.
Решение.
Находим, какую часть от 100 кг винограда со¬ставляет 25 кг изюма: 100 : 25 = 4 часть или .
Находим, какую часть винограда составляет вода. Целое (100 кг винограда) представим в виде дроби и вычтем из него ту часть, которая приходится на изюм: части.
Для того чтобы выразить в процентах части, которые со¬ставляют вода и изюм, находим, сколько килограммов со¬ставляет один процент. 1% – это 1 кг. Испарившаяся вода – это 75 кг, соответственно 75%.
Ответ. Вода составляет части винограда или 75%.
ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ МАТЕРИАЛ.
§ 45. Плоскость, площадь и объём.
Плоскость – это поверхность, у которой два измерения: длину и ширину. Например, как плоскость можно рассматри¬вать пол комнаты. Она имеет два измерения: длину и ширину.
Место, которое занимает фигура на плоскости, называют площадью. Например, на пол постелили ковёр. То место на полу, которое занято ковром, есть площадь ковра.
Все вы, верно, слышали такие выражения: «Какой высокий!», «Широкие плечи», и, порой обидное, «Какой толстый!». Так говорят о фигуре человеке. Фигуры людей имеют три изме¬рения: рост (высота), ширину и толщину.
Все фигуры, которые имеют три измерения (высоту, длину, ширину), называют объёмными фигурами.
Объём – это часть пространства, которую занимает та или иная фигура. К примеру, человек, вошедший в комнату, за¬нимает часть пространства комнаты.
§ 46. Геометрические фигуры.

Угол – геометрическая фигура, состоящая из точки и двух лучей, исходящих из неё.
За единицу измерения углов принимают градус.


Окружность – это кривая замкнутая линия, имеющая центр. Все точки окружности находятся на одинаковом расстоянии от центра. На рисунке – это центр О.
Расстояние от центра до окружности называется радиусом.
ОА – это радиус.
Диаметр – это отрезок, соединяющий 2 точки окружности и проходящий через центр окружности. В диаметре два радиуса: ОК и ОМ.
Часть круга – это дуга. МА – это дуга.
Периметр (Р) – это сумма длин сторон какой-нибудь геометрической фигуры.
Площадь (S) – это внутренняя часть какой-нибудь геометри¬ческой фигуры.
§ 47. Единицы площади.
Площади различных фигур (квадрата, прямоугольника и так далее) измеряют в квадратных единицах.
1 мм2 – 1 квадратный миллиметр.
1 см2 – 1 квадратный сантиметр
1 дм2 – это квадратный дециметр.
1 м2 – 1 квадратный метр.
1 км2 – 1 квадратный километр.
Для измерения небольших земельных участков ввели следующие еди¬ницы:
1 ар (сотка) = 10 м • 10 м = 100 м2.
1 га (гектар) = 100 м • 100 м = 10 000 м2.
§ 48. Формула площади.
Для нахождения площади прямоугольника, надо его длину умножить на ширину:
S прямоугольника = а • b.
S квадрата = а • а = а2.
§ 49. Прямоугольный параллелепипед.
Прямоугольный параллелепипед – это пространственная фи¬гура, ограниченная прямоугольниками. Форму параллелепи¬педа имеют многие предметы: телевизор, шкаф и так далее.
Поверхность параллелепипеда состоит из 6 прямоугольников, которые называют гранями. Противоположные грани параллелепипеда равны.
Грани пересекаются по отрезкам – рёбрам прямоугольного параллелепипеда. Точки, в которых пересекаются рёбра, назы¬ваются вершинами прямоугольного параллелепипеда
У параллелепипеда 8 вершин и 12 рёбер.
Параллелепипед имеет длину, ширину и высоту.
Чтобы найти объём параллелепипеда, его длину умножают на ширину, а полученное произведение умножают на высоту, то есть объём находят по формуле:
V (объём) = a (длина) • b (ширина) • c (высота).
Задачи.
Решение.
Известны: периметр и длина 3 сторон четырёхугольника.
Так как периметр – это сумма длин сторон какой-нибудь фи¬гуры, то, следовательно, если вычтем из периметра извест¬ные величины 3-х сторон, то найдём длину 4 стороны:
84 – 15 – 31 – 16 = 22 (дм).
Ответ. Длина стороны АD равна 22 дм.
Решение.
Найдём вторую сторону треугольника: 56 + 15 = 71 (см).
Третья сторона на 28 см меньше: 71 – 28 = 43 (см).
Тогда периметр треугольника будет: 56 + 71 + 43 = 170 (см).

Ответ. Периметр треугольника равен 170 см.
90. Таня начертила 2 прямые линии. На одной из них она от¬метила 3 точки, а на другой – 5 точек. Всего было отме¬чено 7 точек. Как она это сделала?
Решение.
У нас две прямых. На одной 3 точки, а на другой 5 точек. Следовательно, должно получится 5 + 3 = 8 точек. Но в усло¬вии сказано, что точек всего 7. Следовательно, одна точка должна принадлежать сразу двум прямым. А это возможно только в том случае, если прямые пересекаются.
91. Ширина прямоугольника 57 см. Это на 39 см меньше длины. Найди периметр прямоугольника.
Решение.
Сначала находим длину прямоугольника: 57 + 39 = 96 (см).
Вспомним, что, по определению прямоугольника, проти¬воположные стороны у него равны. Следовательно, чтобы найти периметр прямоугольника, достаточно знать его длину и ширину. Вычисляем периметр:
96 + 96 + 57 + 57 = 306 (см).
Ответ. Периметр прямоугольника равен 306 см.
92. Периметр четырёхугольника равен 3 м. Одна его сто¬рона равна 72 см, а другая – на 16 см больше первой, а третья сторона в 2 раза меньше второй. Найди четвёртую сто¬рону четырехугольника.
Решение.
Переводим метры в сантиметры: 3 • 100 = 300 см.
Одна сторона четырёхугольника равна 72 см, а другая – на 16 см больше первой. Следовательно, чтобы найти длину второй стороны, выполняем операцию сложения:
72 + 16 = 88 (см)
Третья сторона в 2 раза меньше второй:
88 : 2 = 44 (см)
Так как периметр – это сумма длин всех сторон в данном слу¬чае четырехугольника. Три стороны нам известны. Для нахо¬ждения четвёртой стороны производим операцию «вычита¬ние»:
300 – (72 + 88 + 44) = 96 (см)
Ответ. четвёртая сторона равна 96 см.
93. Площадь трёх комнат равна 44 м2. Площадь первой ком¬наты составляет 24 м2, площадь второй комнаты 8м2. Чему равна площадь третьей комнаты?
Решение.
Площадь первой комнаты составляет 24 м2, площадь вто¬рой комнаты 8 м2. Следовательно, можем найти какую пло¬щадь занимают первые две комнаты: 24 + 8 = 32 м2.
Известна площадь всех комнат и площадь первых двух комнат. Следовательно, можем найти площадь третьей ком¬наты: 44 – 32 = 12 м2.
Ответ. Площадь третьей комнаты 12 м2.
94. Длина прямоугольного листа 8 дм, а ширина – 4 дм. Ка¬кова его площадь?
Решение.
Площадь прямоугольного листа находим по формуле площади прямоугольника:
S = a • b = 8 • 4 = 32 (дм2).
Ответ. Площадь листа равна 32 дм2.
95. Длина прямоугольного параллелепипеда равна 4 см, ши¬рина 3 см, а высота – 2 см. Найди площадь каждой грани параллелепипеда. Найди сумму площадей всех граней (пло¬щадь полной поверхности).
Решение.
Грань параллелепипеда – это прямоугольник. По формуле нахождения площади прямоугольника находим площадь каж¬дой грани:
SАВКН = 4 • 2 = 8 (см2)
SКЕNН = 3 • 2 = 6 (см2)
SАСNН = 4 • 3 = 12 (см2)
Находим площадь полной поверхности. Так как противо¬положные грани параллелепипеда равны, то сумму площадей найденных граней умножаем на 2:
(8 + 6 + 12) • 2 = 26 • 2 = 52 (см2)
Ответ. Площадь грани SАВКН – 8 см2, грани SКЕNН – 6 см2, грани SАСNН – 12 см2. Сумма всех площадей – 52 см2.
96. Длина комнаты 5 м, площадь комнаты 4 м2, а высота 3 м. Найди её объём.
Решение.
Комната – это прямоугольный параллелепипед. Следова¬тельно, объём комнаты находим по формуле:
V (объём) = a (длина) • b (ширина) • c (высота).
Так как а • b = S = 4 м2, то V = S • c, то есть 4 • 3 = 12 (м3).
Ответ. Объём комнаты 12 м3.
97. На отрезке АВ, равном 48 см, отмечены точки С и D так, что точка С лежит между точками В и D. Найди длину от¬резка DС, если АС = 24, а ВD = 32 см.
Решение.
Длина отрезка АС нам известна. Следовательно, чтобы найти длину отрезка DС надо из длины отрезка АС вычесть длину отрезка AD.
Для того чтобы найти длину отрезка AD, надо из длины отрезка АВ вычесть длину отрезка DВ:
48 – 32 = 16 см.
Теперь находим длину отрезка DС:
AC – AD = 24 – 16 = 8 см.
Ответ. Длина DС равна 8 см.
98. Построй отрезок АВ, равный 5 см. Проведи две окруж¬но¬сти с центрами в точках А и В так. Чтобы:а) они имели две общие точки;б) они имели одну общую точку;в) они не имели общих точек.Найди сумму радиусов построен¬ных окружно¬стей и сравни её с длиной отрезка.
Решение.
МНОЖЕСТВА.
§ 50. Множество и его элементы.
Множество вовсе не означает много. Множество образуют предметы, числа, понятия и так далее, объединённые каким либо общим свойством.
К примеру, все слова русского языка, обозначающие пред¬меты, объединяются в множество «Имя существительное». Вот другие примеры множеств:
«Отара» – это множество овец.
«Рой» – это множество пчёл, летящих вместе.
«Цифры» – это множество математических знаков, служащих для записи числа.
Предметы, живые существа, понятия, входящие в множество называют его элементами.
Например, элементами множества «Цифры» являются знаки 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.
Элементами множества «Птицы» являются воробьи, лас¬точки, соловьи, голуби и так далее.
§ 51. Множества конечные, бесконечные и пустые.
Множества, состоящие из конечного числа элементов, назы¬вают конечными, а остальные множества – бесконечными.
Множество «Цифры» – конечное, так как содержит 10 эле¬ментов.
Множество «Натуральные числа» – бесконечно, так как за каждым натуральным числом следует ещё одно натуральное число.
Множество, не содержащее ни одного элемента, называют пустым. Его обозначают знаком Ø. Пустым, к примеру, явля¬ется множество «Инопланетяне, живущие на Земле».
§ 52. Задание множества перечислением и свойством.
Множество задано, если о любом предмете можно точно ска¬зать, является ли он элементом этого множества.
Конечные множества могут быть заданы перечислением их элементов. К примеру, множество учеников в данном классе задается их списком в школьном журнале.
Элементы множества записываются в фигурных скобках, само множество обозначается какой-либо заглавной буквой, между множеством и его элементами ставят знак равенства.
Зададим перечислением множество букв в слове «мир». Обо¬значим множество буквой А, тогда: А = {м, и, р}
Если в множестве много элементов и их трудно перечислить, или множество является бесконечным, то не перечисляют элементы множества, а указывают общее свойство, которым обладают все элементы данного множество. Например:
Р – множество рыб в океане; К – множество деревьев леса.
Знак обозначает принадлежность элемента множеству; знак указывает, что элемент не принадлежит множеству.
Например, пусть А – множество четных чисел, тогда запись
2 А означает, что число 2 принадлежит множеству четных чисел. Запись 3 А обозначает, что число 3 не принадлежит множеству чётных чисел.
§ 53. Равные множества.
Два множества равны, если они состоят из одних и тех же элементов.
Внимание! Множества равны, если они состоят из одних и тех же элементов, расположенных в различном порядке.
Если множества А и В равны, то пишут А = В. Если множе¬ства не равны, то пишут А В. Пример:
А = {тетрадь, карандаш, альбом}
В = {альбом, тетрадь, карандаш}
С = {тетрадь, карандаш, альбом, пенал}.
А = В, так как в них одни и те же элементы, только записаны в разном порядке.
А С, так как в С есть лишний элемент – пенал.
§ 54. Подмножества.
Часть множества называется подмножеством. Если А явля¬ется подмножеством В, то между ними ставят знак
, а если нет, то знак .
Например: В множестве «Грибы» можно выделить следую¬щие подмножества: «Несъедобные грибы» и «Съедобные грибы».
В множестве «Рыбы» можно выделить следующие подмно¬жества: «Морские рыбы» и «Речные рыбы».
Запись читается: А является подмножеством В; А включено в В; А содержится в В.
Запись читается: А не является подмножеством В; А не включено в В; А не содержится в В.
Пустое множество Ø по определению есть подмножество ка¬ждого множества А.
§ 55. Разбиение множества на части по свойствам (клас¬сификация).
Множество разбито на части, если каждый его элемент попал только в одну часть.
Разбиение множества на части является «наведением по¬рядка» в множестве. Его называют также классификацией. А признак разбиения называют основанием классификации.
Пример. Пусть А – множество птиц. А = {грачи, куры, петухи, воробьи}. Разбивать на части множество А, то есть «наводить в нём порядок» можно по следующим основаниям:
В множестве «Птицы» выделить части «Дикие птицы» и «Домашние птицы».
В части «Дикие птицы» выделить следующие группы: «пере¬лётные птицы» и «неперелётные птицы.
§ 56. Пересечение множеств.
Пересечением называют общую часть множеств. Пересечение множеств обозначается знаком .
Пример:
А = {малина, земляника, смородина, крыжовник}
В = { малина, земляника, клубника, ежевика}
А В = {малина, земляника}.
Если А В = Ø, то множество называются непересекающи-мися.
Пересечение множеств обладает переместительным и сочета¬тельным свойствами.
Переместительное свойство: А В = В А
Сочетательное свойство: (А В) С = А (В С).
Значит, результат пересечения не зависит от порядка мно¬жеств и от порядка действий.
§ 57. Объединение множеств.
Объединением множеств называется множество всех элемен¬тов, принадлежащих данным множествам. Объединение множеств обозначается символом . Пример:
А = {смородина, крыжовник}
В = {малина, клубника}
А В = {смородина, крыжовник, малина, клубника}.
Объединение множеств обладает переместительным и соче¬тательным свойствами.
Переместительное свойство: А В = В А
Сочетательное свойство: (А В) С = А (В С).
Значит, результат объединения не зависит от порядка мно¬жеств и от порядка действий.
§ 58. Сложение и вычитание множеств.
Сложением множеств называют объединение непересекающихся множеств: В + С = А.
Нахождение части множества называют вычитанием: А – В = С.
Число элементов двух множеств равно сумме чисел элементов каждого множества, уменьшенной на число элементов пересечения.
При сложении множеств число их элементов складывается, а при вычитании – вычитается.
Задачи.
99. Исключи лишнее слово: уакщ, сьдлье, реох, улаак.
Решение.
Сначала определим, какие слова нам даны. Это слова : щука, сельдь, орех, акула.
В задании сказано: исключи лишнее слово. Следовательно, надо найти признак (свойство) по которому данные слова можно объединить в единое целое (в множество).
Нетрудно заметить, что щука, сельдь, акула – это рыбы, а орех – это плод. Следовательно, лишним является слово «орех».
100. Найди лишнее выражение:
4 • 7 4 • 6 + 4 4 • 9 – 4 • 2 4 • 8 – 7
Решение
Рассуждай так: Чтобы найти лишнее выражение следует сначала найти, что объединяет все эти выражения. Произво¬дим арифметические действия, указанные в выражениях. Чи¬словое значение первых трёх выражений равно 28. Следова¬тельно, объединяет первые три выражение их значение.
Выражение 4 • 8 – 7 является лишним, потому что его значение равно 25.
101. Задай множество перечислением: С – множество дву¬знач¬ных чисел кратных 10.
Решение.
Требуется перечислить все элементы, которые обладают следующими свойствами: являются двузначными числами и делятся на 10. С = {10, 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80, 90}.
102. По какому признаку составлено множество:
С = {сложение, вычитание, умножение, деление}?
Решение.
Требуется найти признак, по которому указанные элементы множества объединены в единое целое. В единое целое данные элементы объединяются тем, что все они обозначают арифметические действия.
103. Какое из множеств М = {а, ф, 7, *, +} и К = {7, +} является подмножество другого множества.
Решение.
Нетрудно заметить, что элементы множества К являются частью множества М. Часть множества является под-множеством другого множества. Следовательно, К М.
104. Пусть М = {а, *}, К = {m, 4}, D = {а, m, *, 5}. Являются ли множества М и К подмножествами D?
Решение.
М D, так как содержит часть элементов, которые входят в множество D, и никаких других элементов.
К D, так как он содержит элемент (число 4), который не входит в множество D.
105. Объясни, как это может быть: 2 матери, 3 дочки, 2 се¬стры, а всего – 4 женщины.
Решение.
Так как 2 + 3 + 2 = 7, то очевидно, что мы имеем множе¬ства с пересекающимися элементами.
Каждая мама одновременно может быть и бабушкой. А каждая мама одновременно является дочерью.
Каждая дочка одновременно может быть и сестрой.
Итак, у нас два множества:
«Мамы», которое включает два элемента: бабушка и мама.
«Дочки», которое включает три элемента: мама, первая сестра, вторая сестра.
Объединяем множества и вычитаем элемент пересечения:
(Бабушка и мама) + (мама, первая сестра, вторая сестра) – элемент пересечения (мама) = бабушка, мама, первая сестра, вторая сестра.
106. В классе английский язык изучают 25 человек, а немец¬кий язык – 27 человек, причём 18 человек изучают одновре¬менно английский и немецкий языки. Сколько человек изу¬чают только английский язык и сколько изучают только не¬мецкий язык?
Решение.
Находим, сколько учащихся в классе. Для этого объеди¬няем множества и вычитаем элементы, входящие в пересече¬ние:
(25 + 27) – 18 = 34 учащихся.
Находим, сколько учащихся изучают только английский язык. Для этого из множества, изучающих английский язык вычитаем множество, изучающих одновременно английский и немецкий языки: 25 – 18 = 7 учащихся.
Находим, сколько учащихся изучают только немецкий язык. Для этого из множества, изучающих немецкий язык вы¬читаем множество, изучающих одновременно английский и немецкий языки: 27 – 18 = 9 учащихся.
Ответ. 7 учащихся изучают только английский язык. 9 учащихся изучают только немецкий язык.
107. Соня положила в коробку 4 зелёных круга, 6 треуголь¬ников и 3 синих многоугольников, а всего 11 фигурок. Сколько синих треугольников положила Соня?
Решение.
Находим, сколько многоугольников положила Соня в ко¬робку. Так как круги не являются многоугольниками, то
11 – 4 = 7 многоугольников.
Вспомним, что треугольник – это тоже многоугольник. Следовательно, они входят в множество многоугольников, из которых 3 синие.
Предложение «Соня положила в коробку 6 треугольников и 3 синих многоугольников» не означает, что девочка поло¬жила 9 фигур. Как мы уже выяснили, она положила 7 много¬угольников. Точно известно, что 6 из них треугольники, а один – это или квадрат, или прямоугольник, или какая-то иная фигура. Следовательно, из 3 синих многоугольников 2 являются синими треугольниками.
108. Составь все множества, равные множеству букв в слове «мир».
Решение.
Рассуждаем так: Равными являются множества, которые содержат одни и те же элементы. Порядок следования эле¬ментов не играет роли. Следовательно, решение сводится к комбинаторной задаче, то есть нужно составить все возмож¬ные комбинации букв, составляющих слово «мир».
Вот эти комбинации: {м, и, р}, {м, р, и}, {и, м, р}, {и, р, м}, {р, м, и}, {р, и, м}.
109. В классе 32 учащихся. Из них 18 человек изучают анг¬лийский язык, 16 человек – французский язык, причём все учащиеся изучают хотя бы один из этих двух языков. Сколько учащихся изучают одновременно английский и французский язык? Только английский язык? Только фран¬цузский язык?
Решение.
Предложение «В классе 32 учащихся. Из них 18 человек изучают английский язык» подразумевает, что из 18 человек, изучающих английский язык некоторые из них изучают и французский. Поэтому для нахождения числа учащихся, изу¬чающий только английский или только французский, надо из общего количества учащихся вычитать число учащихся, о ко¬торых сказано, что они изучают тот или иной язык:
32 – 18 = 14 – количество учащихся, изучающих только французский язык;
32 – 16 = 16 – количество учащихся, изучающих только английский язык.
Теперь находим, какое количество учащихся изучают од¬новременно два языка: 32 – (14 + 16) = 2 учащихся.
110. Есть ли в множестве {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} корни уравнения: х • (9 ¬– х) = 21 – х?
Решение.
Заполним следующую таблицу, в которой х равен каждому числу заданного множества и будем производить соответствующие вычисления, заменяя х в выражениях 21 – х и х • (9 ¬– х) числами.
х 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
х • (9 ¬– х) 0 8 14 18 20 20 18 14 8 0
21 – х 21 20 19 18 17 16 15 14 13 12
Из таблицы видно, что корни уравнения – это числа 3 и 7, так как при этом выполняется равенство: х • (9 ¬– х) = 21 – х.
111. Беседуют трое: Белокуров, Чернов и Рыжов. Брюнет сказал Белокурову: «Любопытно, что один из нас русый, дру¬гой – брюнет, а третий – рыжий, но ни у кого цвет волос не соответствует фамилии». Какой цвет волос имеет каждый из беседующих?
Решение.
Для решения задачи воспользуемся таблицей. По условию задачи Белокуров не русый, Чернов не брюнет, и Рыжов не рыжий. Это позволяет поставить знак «–» в соответствующих клетках.
Кроме того, по условию Белокуров не брюнет, и, значит, в клетке на пересечении строки «Белокуров» и столбца «Чёр¬ный» также нужно поставить знак «–».

Фамилия/ цвет волос Рыжий Чёрный Русый
Белокуров – –
Чернов –
Рыжов –

Из таблицы следует, что Белокуров может быть только рыжим. Поставим знак плюс в соответствующей клетке. От¬сюда видно, что Чернов не рыжий. Обозначим это знаком минус в таблице. Теперь ясно, что Чернов может быть только русым, а Рыжов – брюнетом.
Фамилия/ цвет волос Рыжий Чёрный Русый
Белокуров + – –
Чернов – – +
Рыжов – + –
112. Саша, Серёжа, Дима и Алёша получили за контрольную работу оценки «5», «5», «4» и «3». Саша получил отметку бо¬лее высокую, чем Дима, а Серёжа получил такую же оценку, как Алёша. Кто получил тройку?
Решение.
Серёжа получил такую же оценку, как Алёша. Следова¬тельно, оба получили оценку «5», так как по условию задачи одинаковыми являются только эти оценки.
Саша получил отметку более высокую, чем Дима. Следо¬вательно, оценку «4» получил Саша, а Дима получил оценку «3».
Ответ. Тройку получил Дима.
113. Ваня живёт выше Пети, но ниже Сени, а Коля живёт ниже Пети. На каком этаже четырёхэтажного дома живёт ка¬ждый из них?
Решение.
Ваня живёт выше Пети, но ниже Сени.
Коля живёт ниже Пети. Следовательно, порядок будет та¬кой: Сеня, Ваня, Петя, Коля.
Ответ. Коля живёт на 1 этаже, Петя – на втором, Ваня – на третьем, Сеня – на четвёртом.
114. Груша тяжелее яблока, но легче апельсина. Яблоко тя¬желее персика, а апельсин легче ананаса. Что легче всех? Что тяжелее всех?
Решение.
Груша тяжелее яблока, но легче апельсина. Следова¬тельно, по весомости они распределяются так: апельсин, груша, яблоко.
Яблоко тяжелее персика. Следовательно, по весомости фрукты распределяются так: апельсин, груша, яблоко, персик.
Апельсин легче ананаса. Следовательно, по весомости фрукты распределяются так: ананас, апельсин, груша, яблоко, персик.
Ответ. Легче всех персик, а тяжелее всех ананас.
115. В семье 3 сестры: Таня, Света и Марина. Таня не старше Марины, а Света не старше Тани. Кто из сестёр старше всех? Кто младше всех?
Решение.
Таня не старше Марины, Следовательно, Таня младше Марины.
Света не старше Тани. Следовательно, Света младше Тани.
Итак, по возрасту девочки располагаются так: Марина, Таня, Света.
Ответ. Старше всех Марина, младше всех Света.
116. Митя, Серёжа, Юра, Толя и Костя пришли в музей до открытия и стали в очередь. Если бы Митя встал посередине очереди, он стоял бы между Серёжей и Костей, а если бы Митя встал в конце очереди, то рядом с ним стоял бы Юра. Но Митя встал впереди своих товарищей. Кто за кем стоит, если известно, что Костя стоит за Серёжей?
Решение.
По условию задачи Митя стоит впереди всех.
Если бы Митя встал посередине очереди, он стоял бы ме¬жду Серёжей и Костей. По условию задачи известно, что Се¬рёжа стоит впереди Кости. А так как Митя стоит посередине, то Серёжа – это первая половина очереди, а Костя – вторая половина очереди.
Если бы Митя стал бы в конце очереди, то рядом с ним стоял бы Юра. Следовательно, Юра – это вторая половина очереди и он стоит после Кости.
Отсюда, Толе «остаётся место» только после Мити.
Итак, в очередь мальчики встали так: Митя, Толя, Се¬рёжа, Костя, Юра.
117. Четыре подруги пришли на каток, каждая со своим бра¬том. Они разбились на пары и начали кататься. Оказалось, что в каждой паре кавалер выше дамы и никто не катается со своей сестрой. Самый высокий – Юра Воробьёв, следующий по росту – Андрей Егоров, потом Люся Егорова, Серёжа Пет¬ров, Оля Петрова, Дима Крымов, Нина Крымова, Аня Во¬робьёва. Кто с кем катался?
Решение.
Расставим всех мальчиков и девочек по росту:
Юра Воробьёв – самый высокий из мальчиков.
Андрей Егоров – второй по росту из мальчиков.
Люся Егорова – самая высокая из девочек.
Серёжа Петров – третий по росту из мальчиков.
Оля Петрова – вторая по росту из девочек.
Дима Крымов – четвёртый по росту из мальчиков.
Нина Крымова – третья по росту из девочек.
Аня Воробьёва – четвёртая по росту из девочек.
Из этой цепочки ясно, что Юра Воробьев должен кататься с Люсей Егоровой, Андрей Егоров с Олей Петровой, Серёжа Петров с Ниной Крымовой, Дима Крымов с Аней Воробье¬вой.
§ 59. Комбинаторика.
Комбинаторика – это наука о том, сколько различных комбинаций по указанным условиям можно составить из данных объектов.
Объекты могут быть самыми различными, например, буквы, цифры, геометрические фигуры и так далее.
Комбинация – это сочетание, соединение каких-либо объектов.
118. Сколько двузначных чисел можно записать лишь с по¬мощью цифр 1, 2, 3 и 4.
Решение.
Требуется построить все возможные комбинации, исполь¬зуя четыре цифры. Комбинация цифр должна соответствовать следующему условию – запись должна быть двузначным чис¬лом. Составляем все возможные комбинации:
11, 12, 13, 14, 21, 22, 23, 24, 31, 32, 33, 34, 41, 42, 43, 44.
119. Составь все возможные суммы из двух чисел, используя лишь числа 5, 6, 7 (порядок слагаемых не принимается во внимание).
Решение.
Требуется составить все возможные комбинации из двух чисел. Условие – должна выполняться операция «сложение». Вот эти комбинации:
5 + 6; 5 + 7; 5 + 5; 6 + 6; 6 + 7; 7 + 7.
120. Флаг раскрашен в 2 красные и 3 зелёные полоски. По¬следовательность цветов раскраски следующая: ккззз (буквы обозначают цвет краски). Сколько существует других спосо¬бов раскраски флага этими цветами?
Решение.
Требуется составить все возможные комбинации рас¬краски флага. Для этого достаточно менять последователь¬ность раскрасок полосок. Вот некоторые возможные комби¬нации (всего 10 комбинаций):
1) кзкзз; 2) кззкз; 3) кзззк; 4) зккзз; 5) зкзкз; 6) зкззк.
121. Небольшой воинский отряд подошёл к реке через кото¬рую необходимо было переправиться. Мост сломан, а река глубока. Как быть? Офицер замечает у берега двух мальчи¬ков, забавляющихся в лодке. Но лодка так мала, что на ней может переправиться только один солдат или только двое мальчиков не больше. Однако все солдаты переправились че¬рез реку на этой лодке. Каким образом?
Решение.
Задача сводится к тому, чтобы найти такие комбинации, при которых возможна переправа солдат.
Переправа происходит так: Два мальчика переплавляются на другой берег. Один остаётся на берегу, другой возвраща¬ется.
Теперь на другой берег переплавляется солдат, а возвра¬щается мальчик. И вновь на другой берег переправляются мальчики. И так до тех пор, пока не переправятся все сол¬даты.
122. Вставь вместо звёздочек цифры так, чтобы получилось верное равенство: * + * = **. Сколько решений имеет эта за¬дача?
Решение.
Требуется составить все возможные комбинации, которые отвечают следующим условиям: 1) слагаемые должны быть однозначными числами; 2) сумма должна быть двузначным числом. Методом перебора устанавливаем, что это следую¬щие числа и их суммы:
1 + 9 = 10; 9 + 1 = 10; 2 + 8 = 10; 8 + 2 = 10… 9 + 9 = 18…
Всего 45 способов.
123. В мешке лежат яблоки 3 сортов. Какое минимальное число яблок надо взять из мешка, чтобы среди них было не менее 2-х яблок одного сорта.
Решение.
Возьмём из мешка три яблока. У нас могут получится следующие комбинации: 1) все яблоки одного сорта; 2) 2 яб¬лока одного сорта и одно яблоко другого сорта; 3) все три яб¬лока разных сортов.
Первые два случая не рассматриваем. Рассмотрим третий случай: все яблоки разных сортов. Теперь, если возьмём из мешка ещё одно яблок, то два из них будут одного сорта. Следовательно, минимальное количество яблок, которое нужно взять из мешка, чтобы обязательно получилось 2 яб¬лока одного сорта, – это 4 яблока.
Для того чтобы у нас было 5 яблок одного сорта нужно взять 13 яблок. Считать надо так: 3 яблока – возможно, что все они одного сорта; 6 яблок – по 2 яблока одного сорта; 9 яблок – по три яблока одного сорта; 12 яблок – по 4 яблока одного сорта. Достаём ещё одно яблоко и получается, что у нас 5 яблок одного сорта.
§ 59. Задачи на смекалку.
124. Если поздней осенью в 10 часов вечера идёт дождь, то возможна ли через 48 часов солнечная погода?
Рассуждай так:
48 часов – это двое суток. Следовательно, через двое су¬ток вновь будет 10 часов вечера.
125. Перед мастером 5 звеньев цепи. Их надо соединить в одну цепь, не употребляя дополнительных колец. Какое наи¬меньшее число колец надо мастеру для этого расковать, а по¬том заковать?
Рассуждай так: Одним кольцом можно соединить два звена цепи. Два кольца соединят уже четыре звена, а три кольца – шесть звеньев цепи. Следовательно, мастеру доста¬точно расковать 3 кольца одного из пяти звеньев цепи.
126. Лестница состоит из 15 ступенек. На какую ступеньку надо встать, чтобы быть посередине лестницы? Какая сту¬пенька будет средней у лестницы в 20 ступенек?
Решение.
У лестницы из 15 ступенек средней будет 8-ая ступенька. У лестницы из 20 ступенек средней ступеньки нет.
127. Из трёх лимонов два имеют одинаковую массу, а третий – более лёгкий. Как при помощи одного взвешивания на ча¬шечных весах определить, какой более лёгкий?
Решение.
Рассуждай так: Положим по одному лимону на каждую чашку. Весы оказались в равновесии. Следовательно, более лёгкий лимон тот, который не на весах.
Весы не в равновесии. Легче тот лимон, который на чашке, поднявшейся вверх.
128. Длина бревна 5 аршин. В одну минуту от этого бревна отпиливают по одному аршину. Через сколько минут будет распилено всё бревно?
Решение.
В первую минут отпиливается 1-й аршин, вторую – 2-й , в третью – 3-й, в четвёртую минуту отпиливается 4-й аршин и 5-й аршин остаётся. Следовательно, для распилки бревна по¬требуется 4 минуты.
129. Один господин встретил во время прогулки знакомую семью, состоящую из деда, отца и сына. Поздоровался и спросил в шутку, сколько им лет. «Нам всем вместе 100», – ответил за всех дед. Тогда господин спросил отца: «Ну ска¬жите же, сколько вам лет?» – «Мне вместе с сыном 45 лет, – отве¬чал отец, – а сын моложе меня на 25 лет». Так любопытному господину и не пришлось узнать, сколько лет каждому из них. Не сообразите ли вы?
Решение.
Сначала найдём возраст деда. По условию задачи из¬вестно, что отцу с сыном 45 лет. Следовательно деду: 100 – 45 = 55 лет.
Обозначим через х возраст сына, тогд х + 25 – возраст отца.
Составим уравнение: х + х + 25 = 45.
Произведя вычисления, находим, что х = 10.
Отсюда, возраст отца – 35 лет.
Ответ. Деду 55 лет, отцу – 35, а сыну – 10.
130. Торговка, сидя на рынке, соображала: «Если бы к моим яблоками прибавить половину их да ещё десяток, то у меня была бы целая сотня!» Сколько яблок у неё было?
Решение.
Эту задачу надо решать с конца. Отнимем излишек в 10 яблок, тогда останется 90 яблок. В это количество входит 3 части (торговка сказала: «Если бы к моим яблоками приба¬вить половину их»). Следовательно, в числе 90 заключается 2 части, да ещё та часть (половина всех яблок), которую ста¬руха желает вновь прибавить. Разделив 90 на 3, мы узнаем, что половина всех яблок равна 30 яблокам.
Значит, у тор¬говки было 30 • 2 = 60 яблок.
Ответ. Первоначально у торговки было 60 яблок.
131. № 8. Крестьянин пришёл к царю и попросил: «Царь, позволь мне взять одно яблоко из твоего сада». Царь разрешил.Прошёл крестьянин к саду и видит весь сад огорожен трой¬ным забором, в каждом заборе есть только одни ворота и около каждых ворот стоит сторож. «Царь разрешил мне взять одно яблоко из сада», – сказал крестьянин первому сторожу. «Возьми, но при выходе отдашь мне половину тех яблок, ко¬торые у тебя будут и ещё одно», – ответил сторож. То же ска¬зали и другие сторожа, охранявшие ворота.Сколько яблок должен взять крестьянин, чтобы отдав поло¬женные части трём сторожам, унести домой одно яблоко?
Решение.
Задача решается с конца. Сколько яблок должен иметь крестьянин на выходе для расчёта с последним сторожем? Для ответа на этот вопрос составим следующее выражение:
1 • 2 + 1 + 1 = 4 яблока.
Проверим, произведя обратные операции:
4 : 2 – 1 = 1 яблоко.
Сколько яблок должен иметь крестьянин на выходе для расчёта со вторым сторожем? Для ответа на этот вопрос со¬ставим следующее выражение:
4 • 2 + 1 + 1 = 10 яблок.
Проверим, произведя обратные операции:
10 : 2 – 1 = 4 яблока
Сколько яблок должен иметь крестьянин на выходе для расчёта со вторым сторожем? Для ответа на этот вопрос со¬ставим следующее выражение:
10 • 2 + 1 + 1 = 22 яблока
Проверим, произведя обратные операции:
22 : 2 – 1 = 10 яблок.
Ответ. Крестьянин должен взять 22 яблока.
132. Бабушке надо зажарить 6 котлет, а на сковороде умеща¬ется только 4 котлеты. Каждую котлету надо жарить 5 минут на одной стороне и 5 минут на другой стороне. Бабушка за¬жарила котлеты за 15 минут. Как она это сделала?
Решение.
Жарятся 4 котлеты с одной стороны. Две котлеты перево¬рачивают, а две наполовину прожаренных убирают на та¬релку. Их место занимают «сырые» котлеты.
Далее две котлеты полностью прожаренные убирают, а их место занимает две котлеты прожаренные наполовину.
133. По тропинке идут одиннадцать хвостов и тридцать ног. Сколько индюков и жеребят идут по тропинке?
Решение.
По условию задачи должны выполняться следующие ра¬венства:
Хвосты индюков + хвосты жеребят = 11
Ноги индюков + ноги жеребят = 30
Используя метод перебора, находим искомые числа. Пусть жеребят будет двое, тогда индюков должно быть 11, так как:
11 • 2 + 2 • 4 = 30. Но в этом случае не выполняется пер¬вое равенство. Оба равенства будут выполняться только в том случае, если жеребят – четверо, а индюков – семеро.
Ответ. Жеребят – четверо, а индюков – семеро.
134. В классе учатся 13 детей. У мальчиков столько зубов, сколько у девочек пальцев на руках и ногах. Сколько в классе мальчиков и девочек? Предполагается, что у каждого ученика по 32 зуба.
Решение.
По условию задачи должны выполняться следующие ра¬венства:
Мальчики + девочки = 13
Мальчики • 32 = девочки • 20.
Используя метод перебора и подставляя числа в равен¬ство:
мальчики • 32 = девочки • 20, находим, что искомые числа: 5 мальчиков и 8 девочек.
§ 60. Числовые ребусы.
Числовые ребусы – это примеры, в которых все или некото¬рые цифры заменены звёздочками или буквами.
При этом одинаковые буквы, заменяют одинаковые цифры, разные бу¬квы – разные цифры.
Решение.
Число АА – двузначное, записано двумя одинаковыми цифрами (буквы одинаковые). В результате сложения полу¬чается трёхзначное число.
Возьмём наибольшее двузначное число и произведём операцию «сложения»: 99 + 99 = 198. Следовательно, трёх¬значное число, которое получается в результате сложения меньше 198. Отсюда, цифра, стоящая в разряде сотен может быть только 1.
В ребусах одинаковыми буквами обозначают одинаковые цифры. Следовательно, в разряде единиц у нас также цифра 1.
Так как А + 2 = 11, то А = 9.
Итак: 99 + 92 = 191.
Решение.
Числа А, Б, В дают в сумме двузначное число 1Б, в кото¬ром разряд единиц обозначено цифрой Б.
Следовательно, сумма А + В равна 10.
Представим число 10 в виде разрядных слагаемых:
10 = 1 + 9; 2 + 8, 3 + 7, 4 + 6, 5 + 5.
Очевидно, что А и В не могут быть равны 5. Если А – первое слагаемое, то оно равно или 1, или 2, или 3, или 4. Если А – второе слагаемое, то оно равно или 9, или 8, или 7, или 6.
Обратимся к разряду сотен. Очевидно, что число Б полу¬чается прибавлением 1 единицы к А. Следовательно, Б больше А ровно на 1 единицу.
При сложении чисел А и Б в разряде десятков получается число1А, где А обозначают цифру разряда десятков 1А.
Мы уже установили все возможные значения А. Теперь методом перебора установим, в каком случае выполняется равенство: А + Б + 1 = 1А. Внимание! 1 в равенстве потому, что А + В + Б = 1Б. Число Б в равенстве равно А + 1, так как мы установили, что Б больше А на 1 единицу.
Вариант, в котором А может быть равно 1, 2, 3, 4 исклю¬чается, так как в этом случае сумма двух чисел однозначное число.
Рассмотрим второй вариант, в котором А может быть равно 9, 8, 7, 6.
Если А = 9, то равенство не выполняется, так как Б в этом случае равно 10, то есть является двузначным числом, а Б – это однозначное число.
Если А = 8, то 8 + 9 + 1 = 18. Равенство выполняется.
Итак, А = 8, В = 2, Б = 9.
Заменяем буквы числами и находим сумму:
8 + 89 + 892 = 989.
137. Вычисли: АБ2 – 2БА = 5Б4
Решение.
Так как 2 – А = 4, то очевидно, что уменьшаемое 12. От¬сюда 12 – А = 4. Отсюда находим, что А = 8.
Рассмотрим разряд сотен: А – 2 = 5. Следовательно, при вычитании из разряда сотен занимается единица. Получаем следующее равенство: (10 + Б) – 1 – Б = Б. Отсюда Б = 9.
Итак: А = 8, Б = 9.
Заменяем буквы числами и находим разность:
892 – 298 = 594.
138. Замени буквы цифрами: АБВ + ВБА = 888.
Решение.
Рассмотрим разряд единиц и разряд сотен: сумма А + В и В + А равна в обоих случаях 8. Следовательно, А + В < 10, то есть нет перехода через десяток. Отсюда, Б + Б = 8, то есть Б = 4.
А + В = 8. Представим число 8 в виде суммы разрядных слагаемых: 8 = 1 + 7, 2 + 6, 3 + 5. Следовательно, А может быть равно или 1, или 2, или 3; В – или 7, или 6, или 5. И на¬оборот, так как от перестановки слагаемых сумма не изменя¬ется.
139. Возраст старика Хоттабыча записывается числом с раз¬ными цифрами. Известно, что: а) если первую и последнюю цифру зачеркнуть, то получится наибольшее из двузначных чисел, сумма цифр которых равна 13; б) первая цифра больше последней в 4 раза. Сколько лет Хоттабычу?
Решение.
Наибольшее двузначное число – это 99. Сумма его цифр равна 18. По условию же задачи сумма цифр равна 13, следо¬вательно, это число 94.
Первая цифра больше последней в 4 раза. Первой цифрой не может быть 4, так как по правилам составления ребусов, цифры должны быть разными.
Следовательно, это цифра 8, так как 8 : 2 = 4.
Итак, Хоттабычу 8942 года.
140. Мишу спросили: «Три да три да три – что будет?» Он ответил «Дыра». Это записали так: три + три + три = дыра. Какие цифры зашифрованы в этой записи, если известно, что: (ы + ы) : ы = ы?
Решение.
Из равенства (ы + ы) : ы = ы подбором устанавливаем, что ы = 2.
Далее: р + р + р = р, а это возможно только в том случае, если р = 0.
Далее: т + т + т = ды, то есть получается двузначное число, в разряде единиц которого стоит цифра 2. А это воз¬можно только в том случае, если т = 4. Так как 4 + 4 + 4 = 12, то д = 1.
Осталось найти, чему равно и. Так как при сложении и + и + и получается однозначное число (нет перехода через де¬сяток), то и может быть равным 1, 2 или 3. Цифры 1 и 2 у нас уже «заняты». Следовательно, и = 3. Отсюда а = 3 + 3 + 3 = 9
Заменяем буквы цифрами и получаем:
403 + 403 + 403 = 1209.
141. Замени буквы цифрами:
Решение.
Обратим внимание на разряд тысяч: о + а = ох, то есть получается двузначное число. Следовательно, о = 1.
Рассмотрим разряд десяток: х + х = о, то есть х + х = 1. Эта единица получается в результате сложения о + а. Следо¬вательно, а = 9, а х = 0.
Заменяем буквы цифрами: 10101 + 90909 = 101010.
142. Замени буквы цифрами: АВ • А = ССС.
Решение.
Обратим внимание на то, что в результате ум¬ножения двузначного числа на однозначное получается трёх¬значное число, записано тремя одинаковыми цифрами. Сле¬довательно, это число 111 или 222 или 333 и так далее.
Первая цифра в разряде десятков числа АВ и множитель А – это одинаковые цифры. Следовательно, А может быть равно 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, но не 1 или 2, так как при умножении двузначного числа, в разряде десятков которого стоит цифра 2 не получается трёхзначное число (29 • 2 = 5.
Пусть А = 3. Тогда 111 : 3 = 37. Условие выполняется.
Число 222 : 3 = 74.
Условие не выполняется, так 7 не равно 3. Дальнейший перебор всех возможных вариантов по¬казывает, что единственное решение: А = 3, В = 7, С = 1.
143. На доске было произведено действие умножения. Часть цифр заменили звёздочками. Восстанови запись.
Решение.
Обратим внимание, что произведение * • 8 = *0, то есть получается двузначное число, в разряде единиц которого стоит цифра 0. Число * – однозначное. Из всех возможных случаев, только произведение 5 на 8 дает число, в разряде единиц которого 0. Это число 40.
В результате умножения трёхзначного числа на 8 получа¬ется трёхзначное числа. А это возможно только в том случае, если в разряде десятков и единиц стоит цифра 1, так как лю¬бые другие цифры дают уже четырёхзначное число (225 • 8 = 1800). Следовательно, множимое число в примере – 115.
Число 115 умноженное на цифру разряда десятков даёт четырёхзначное число. А это возможно только в том случае, если в разряде десятков стоит цифра 9.
Заменяем звёздочки на цифры и производим вычисления:
115 • 98 = 920 + 1035 = 11270.
144. Расшифруй запись ** + *** = ****, если известно, что оба слагаемых и сумма не изменяется, если прочитать их справа налево.
Решение.
Обратим внимание, что сумма двузначного и трёхзначного числа дают в сумме четырёхзначное число. А это возможно только в том случае, если трёхзначное число больше 901:
(901 + 99 = 1000).
По условию числа читаются одинаково как слева направо, так и справа налево. Следовательно, цифра сотен и цифра единиц трёхзначного числа обозначена цифрой 9 – 9*9.
У четырёхзначного числа соответственно цифра разряда тысяч и разряда единиц обозначена цифрой 1 – 1**1.
Допустим, что двузначное число 99, а трёхзначное – 999, тогда их сумма составит 1098. По условию задачи число должно читаться одинаково. Следовательно, в разряде сотен и в разряде десятков у четырёхзначного числа может быть только цифра 0. Итак, четырёхзначное число записано сле¬дующими цифрами – 1001.
Вычтем из числа 1001 число 9*9. 11 – 9 = 2. А отсюда следует, что двузначное число может быть записано только цифрой 2 – 22.
Вычтя из 1001 число 22, находим трёхзначное – 979.
145. Замени буквы цифрами:
Решение.
Обратим внимание на то, что к + к + к = к. Методом пере¬бора устанавливаем, что это возможно только в том случае, если к равно 5.
Анализируя сумму а + а + а = а, приходим к выводу, что а = 0, так как нет перехода через десяток, а сумма трёх одно¬значных чисел может быть равна одному из слагаемых только в том случае, если все слагаемые равны нулю.
Анализируя сумму ш + ш + ш = а, приходим к выводу, что ш = 3, так как 3 + 3 + 3 + 1 = 10 (единица появляется при сложении к + к + к = 5 + 5 + 5).
Анализируя к + к + к = со, устанавливаем, что о равно 6 или 7 (к + 1 или к + 2), а с равно 1. Буква «о» не может быть равна 4, так как 4 < 5. Не может быть равно 8 или 9, так как к + 2 не равно 8 или 9.
Осталось найти, какую цифру обозначает буква «б». Её цифровое значение найдём при сложении.
Заменяем буквы цифрами:
56350 + 56350 + 56350 = 169050.
57350 + 57350 + 57350 = 172050
Итак, пример имеет два решения поскольку букву «о» можно заменить как цифрой 6, так и цифрой 7.
Содержание.
Натуральные числа и нуль 3
§ 1. Натуральный ряд 3
§ 2. Строение натурального числа в десятичной системе счисления 3
§ 3. Виды числа 4
§ 4. Классы числа 5
§ 5. Сравнение натуральных чисел 6
§ 6. Сложение. Законы сложения 7
§ 7. Вычитание 8
§ 8. Умножение. Законы умножения 9
§ 9. Деление 9
§ 10. Признаки делимости 9
§ 11. Деление с остатком 10
§ 12. Числовые и буквенные выражения. Равенства и не¬равенства. Формула 11
§ 13. Порядок действий в числовых выражениях 11
§ 14. Сравнение именованных чисел и выражений 12
§ 15. Операции. Прямые и обратные операции 14
§ 16. Задачи на нахождение количества 17
§ 17. Последовательности 24
Метрическая система мер 26
§ 18. Величины 26
§ 19. Единицы длины 26
§ 20. Единицы массы 27
§ 21. Единицы времени 27
§ 22. Переменная. Уравнение 28
§ 23. Скорость. Время. Расстояние 31
§ 24. Стоимость, цена, количество 37
§ 25. Работа. Время. Производительность 39
Доли и дроби 41
§ 26. Доли и обыкновенные дроби 41
§ 27. Элементы обыкновенной дроби и их роль 42
§ 28. Нахождение доли числа 42
§ 29. Нахождение числа по его доле 43
§ 30. Сравнение долей 43
§ 31. Основное свойство дроби 43
§ 32. Сравнение дробей 44
§ 33. Нахождение части числа, выраженной дробью 44
§ 34. Нахождение числа по его части,
выраженной дробью .45
§ 35. Сложение обыкновенных дробей 46
§ 36. Вычитание обыкновенных дробей 46
§ 36. Правильные и неправильные дроби 46
§ 37. Смешанные числа 47
§ 38. Выделение целой части из неправильной дроби 47
§ 39. Преобразование смешанных чисел в неправильные дроби 48
§ 40. Сложение целого числа с правильной дробью 48
§ 41. Сложение смешанного числа с правильной
дробью 48
§ 42. Сложение смешанных чисел 49
§ 43. Вычитание смешанных чисел 50
§ 44. Проценты 55
Геометрический материал 58
§ 45. Плоскость, площадь и объём 58
§ 45. Геометрические фигуры 58
§ 47. Единицы площади 61
§ 48. Формула площади 62
§ 49. Прямоугольный параллелепипед 63
Множества 68
§ 50. Множество и его элементы 68
§ 51. Множества конечные, бесконечные и пустые 68
§ 52. Задание множества перечислением и свойством 69
§ 53. Равные множества 69
§ 54. Подмножества 70
§ 55. Разбиение множества на части по свойствам 70
§ 56. Пересечение множеств 71
§ 57. Объединение множеств 71
§ 58. Сложение и вычитание множеств 72
§ 59. Комбинаторика 80
§ 59. Задачи на смекалку 82
§ 60. Числовые ребусы 86